giả sử :  \(\frac{mx+m}{\left(m+1\right)x-m+2}>0\)\(,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)

\(\Rightarrow\frac{m.0+m}{\left(m+1\right).0-m+2}>0\)    \(\Rightarrow\frac{m}{2-m}>0\)

                               \(\Rightarrow0\)\(<\)\(m<\)\(2\)

ngược lại \(0<\)\(m<2\) thì:

\(mx+m>0,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)

\(\left(m+1\right)x\ge0>m-2,\)\(\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)

\(\Rightarrow\left(m+1\right)x-m+2>0,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)

\(\Rightarrow\frac{mx+m}{\left(m+1\right)x-m+2}>0,\text{∀}x\in\left[0;2\right]\)

vậy:  \(0\)\(<\)\(m<\)\(2\) là kết quả cần tìm

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(x^3-3mx^2+3\left(2m-1\right)x+1=2mx-4m+3\Leftrightarrow x^3-3mx^2+4mx-3x-2+4m=0\Leftrightarrow x^3-3x-2-m\left(3x^2-4x+4\right)=0\)

giải hệ pt ta có \(C_m\) luôn đi qua điểm A là nghiệm của hệ pt sau

\(\begin{cases}3x^2-4x+4=0\\x^3-3x-2=0\end{cases}\)

ta đc điều phải cm

.

Câu 1 : 

Đk: \(x\ge1\) 

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}=5\\ \Leftrightarrow x-1+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2x-1\right)}+2x-1=25\\ \Leftrightarrow2\sqrt{2x^2-3x+1}=27-3x\\ \)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}27-3x\ge0\\4\left(2x^2-3x+1\right)=9x^2-162x+729\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le9\\x^2-150x+725=0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\le9\\x=145hoặcx=5\end{cases}\)

với x= 5 thoản mãn điều kiện, x=145 loại

Vậy \(S=\left\{5\right\}\)

vĐk: \(� \geq 1\) 

\(\sqrt{� - 1} + \sqrt{2 � - 1} = 5 \Leftrightarrow � - 1 + 2 \sqrt{\left(\right. � - 1 \left.\right) \left(\right. 2 � - 1 \left.\right)} + 2 � - 1 = 25 \Leftrightarrow 2 \sqrt{2 �^{2} - 3 � + 1} = 27 - 3 �\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. 27 - 3 � \geq 0 \\ 4 \left(\right. 2 �^{2} - 3 � + 1 \left.\right) = 9 �^{2} - 162 � + 729\) \(\Leftrightarrow \left{\right. � \leq 9 \\ �^{2} - 150 � + 725 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. � \leq 9 \\ � = 145 ℎ � ặ � � = 5\)

với x= 5 thoản mãn điều kiện, x=145 loại

Vậy \(� = \left{\right. 5 \left.\right}\)

Chọn D.

Để phương trình f(x)=m+2 có 4 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y=m+2 phải cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại 4 điểm phân biệt.

Dựa vào đồ thị ta được -4<m+2<-3 => -6<m<-5

Bài 2 

a) 4^100 = (2^2)^100= 2^200

Mà 2^202 > 2^200 => 4^100 < 2^202                          

b)Ta có: 31^5 <32^5 = (2^5)^5 = 2^25       (1)

               17^7 > 16^7= (2^4)^7= 2^28        (2)

                Từ (1) và (2) => 31^5<17^7

Đáp án C

Khi m > -3 thì  phương trình f(x) = m có hai nghiệm lớn hơn 1. Do đó chọn phương án C.