Theo Cô si       4x+\frac{1}{4x}\ge24x+4x1​≥2  , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   4x=\frac{1}{4x}=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}4x=4x1​=1⇔x=41​). Do đó

                                         A\ge2-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016A≥2−x+14x​+3​+2016

                                        A\ge4-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2014A≥4−x+14x​+3​+2014

                                        A\ge\frac{4x-4\sqrt{x}+1}{x+1}+2014=\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)^2}{x+1}+2014\ge2014A≥x+14x−4x​+1​+2014=x+1(2x​−1)...

a:

b: phương trình hoành độ giao điểm là:

4x+2=2x-2

=>4x-2x=-2-2

=>2x=-4

=>x=-2

Thay x=-2 vào y=4x+2, ta được:

\(y=4\cdot\left(-2\right)+2=-8+2=-6\)

Vậy: M(-2;-6)

c: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\4x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\4x=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\2x=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: B(1;0); A(-1/2;0)

d: M(-2;-6); B(1;0); A(-1/2;0)

\(MA=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}+2\right)^2+\left(0-6\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

\(MB=\sqrt{\left(1+2\right)^2+\left(0+6\right)^2}=3\sqrt{5}\)

\(AB=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)

Chu vi tam giác MAB là:

\(C_{MAB}=MA+MB+AB=\dfrac{3}{2}+3\sqrt{5}+\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Xét ΔMAB có \(cosAMB=\dfrac{MA^2+MB^2-AB^2}{2\cdot MA\cdot MB}=\dfrac{9}{\sqrt{85}}\)

=>\(sinAMB=\sqrt{1-\left(\dfrac{9}{\sqrt{85}}\right)^2}=\dfrac{2}{\sqrt{85}}\)

Diện tích tam giác MAB là:

\(S_{AMB}=\dfrac{1}{2}\cdot MA\cdot MB\cdot sinAMB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\cdot3\sqrt{5}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{85}}\)

\(=\dfrac{9}{2}\)

a: (d)//Oy và (d) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2

=>x=2

Tọa độ H là:

x=2 và y=3x=3*2=6

=>H(2;6)

Tọa độ K là:

x=2 và y=-2x=-4

=>K(2;-4)

b: O(0;0); H(2;6); K(2;-4)

\(OH=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(6-0\right)^2}=2\sqrt{10}\)

\(OK=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(-4-0\right)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)

\(HK=\sqrt{\left(2-2\right)^2+\left(-4-6\right)^2}=\sqrt{\left(-10\right)^2}=10\)

Chu vi tam giác OHK là:

OH+OK+HK=\(2\sqrt{10}+2\sqrt5+10\)

Xét ΔHOK có \(cosHOK=\frac{OH^2+OK^2-HK^2}{2\cdot OH\cdot OK}\)

\(=\frac{40+20-100}{2\cdot2\sqrt{10}\cdot2\sqrt5}=\frac{-40}{8\sqrt{50}}=\frac{-40}{40\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2}\)

=>\(\sin HOK=\sqrt{1-\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}=\frac{1}{\sqrt2}\)

Diện tích tam giác HOK là:

\(S_{HOK}=\frac12\cdot OH\cdot OK\cdot\sin HOK\)

\(=\frac12\cdot2\sqrt{10}\cdot2\sqrt5\cdot\frac{1}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt{50}}{\sqrt2}=2\cdot\sqrt{25}=2\cdot5=10\)