\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[3]{ax+1}-\sqrt[]{1-bx}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{ax}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{bx}{1+\sqrt[]{1-bx}}}{x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left(\dfrac{a}{\sqrt[3]{\left(ax+1\right)^2}+\sqrt[3]{ax+1}+1}+\dfrac{b}{1+\sqrt[]{1-bx}}\right)=\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}\)

Hàm liên tục tại \(x=0\) khi:

\(\dfrac{a}{3}+\dfrac{b}{2}=3a-5b-1\Leftrightarrow8a-11b=3\)

\(f\left(-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\left(2-ax\right)=2+a\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}\left(x^2-bx+2\right)=3+b\)

\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(4x+a\right)=4+a\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(x^2-bx+2\right)=3-b\)

Hàm liên tục trên R khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2+a=3+b\\4+a=3-b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Để hàm số liên tục tại x=0 thì \(\lim_{x\to0}f\left(x\right)\) phải tồn tại và là số hữu hạn

mà \(\lim_{x\to0}x=0\)

nên \(\lim_{x\to0}\left(\sqrt[3]{ax+b}-1\right)=0\)

=>\(\sqrt[3]{b}-1=0\)

=>b=1

Khi b=1 thì ta có: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{ax+1} - 1}{x}\)

\(=\lim_{x\to0}\frac{ax}{x \left( \sqrt[3]{(ax+1)^2} + \sqrt[3]{ax+1} + 1 \right)}=\lim_{x\to0}\frac{a}{\sqrt[3]{(ax+1)^2} + \sqrt[3]{ax+1} + 1}=\frac{a}{3}\)

Nếu hàm số liên tục tại x=0 thì \(\lim_{x\to0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\)

=>\(\frac{a}{3}=a+b+c-2\)

=>\(\frac{a}{3}=a+1+c-2=a+c-1\)

=>\(c=1-\frac{2a}{3}\)

P=a*b*c

=ac

\(=a\left(1-\frac{2a}{3}\right)=-\frac23a^2+a\)

c>0

=>\(1-\frac{2a}{3}>0\)

=>\(\frac{2a}{3}<1\)

=>\(a<\frac32\)

mà a>0

nên 0<a<3/2

Xét hàm số \(f\left(a\right)=-\frac23a^2+a\) trên khoảng (0;3/2), ta có

Đây là một Parabol có bề lõm hướng xuống

Hoành độ đỉnh là: \(a=\frac{-B}{2\cdot A}=-\frac{1}{2\cdot\left(-\frac23\right)}=1:\frac43=\frac34\)

Giá trị cực đại tại đỉnh là: \(f\left(a\right)_{\max}=f\left(\frac34\right)=-\frac23\cdot\left(\frac34\right)^2+\frac34=\frac{-2}{3}\cdot\frac{9}{16}+\frac34=\frac{-18}{48}+\frac{36}{48}=\frac{18}{48}=\frac38\)

=>\(P_{\max}=\frac38\) khi b=1;a=3/4;c=1/2

a) \(dy=d\left(\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\right)=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{a+b}\right)dx=\dfrac{1}{2\left(a+b\right)\sqrt{x}}dx\)

b) \(dy=d\left(x^2+4x+1\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)=\left[\left(2x+4\right)\left(x^2-\sqrt{x}\right)+\left(x^2+4x+1\right)\left(2x-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right]dx\)

a) y' = 3.(x⁷- 5x²)².(x⁷- 5x²)' = 3.(x⁷ - 5x²)².(7x⁶ - 10x) = 3x.(x⁷ - 5x²)²(7x⁵ - 10).

b) y = 5x² - 3x⁴ + 5 - 3x² = -3x⁴ + 2x² + 5, do đó y' = -12x³ + 4x = -4x.(3x² - 1).

c) y' = = = .

d) y' = = = .

e) y' = 3. . = 3. = - ..

\(f'\left(x\right)=2ax+b\)

\(f\left(x\right)+\left(x-1\right)f'\left(x\right)=ax^2+bx+c+\left(x-1\right)\left(2ax+b\right)\)

\(=3ax^2+\left(2b-2a\right)x+c-b\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi: \(\left\{{}\begin{matrix}3a=3\\2b-2a=0\\c-b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|f\left(x\right)\right|=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2sin\dfrac{1}{x}\right|< \lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2\right|=0\).
Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0\).
\(f\left(0\right)=A\).
Để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\Leftrightarrow A=0\).
Để xét hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) ta xét giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}xsin\dfrac{1}{x}=0\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x=0\).