Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Có cách nào khác nx ạ?

Do \(a=-1< 0\) nên để điều kiện bài toán thỏa mãn thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m+1>0\\x_1\le0< 1\le x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-f\left(0\right)\le0\\-f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2m\le0\\0\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\ge\frac{1}{2}\)

cô ơi rk đề cho f(x)>0 mà khi thay (0;1) lai thành f(x)<= vậy ạ

Do \(a=1>0\) nên để \(f\left(x\right)>0\) \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta'< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(4m-1\right)^2-\left(15m^2-2m-7\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m+8< 0\)

\(\Leftrightarrow2< m< 4\)

a: TH1: m=0

=>\(g\left(x\right)=4\cdot0\cdot x^2-4\left(0-1\right)x+0-3=4x-3\)

Với x=1 thì g(x)=4*1-3=1>0

=>g(x) không thể luôn âm với mọi x

=>Loại

TH2: m<>0

\(\Delta=\left\lbrack-4\left(m-1\right)\right\rbrack^2-4\cdot4m\left(m-3\right)\)

\(=16\left(m^2-2m+1\right)-16m\left(m-3\right)=16m^2-32m+16-16m^2+48m\)

=16m+16

Để g(x) luôn âm với mọi x thì Δ<0 và a<0

=>16m+16<0 và 4m<0

=>m<-1 và m<0

=>m<-1

b: \(\Delta=\left\lbrack-2\left(m+2\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(-2m^2+3m+4\right)\)

\(=4\left(m_{}^2+4m+4\right)+8m^2-12m-16\)

\(=4m^2+16m+16+8m^2-12m-16=12m^2+4m\) =4m(3m+1)

Để f(x)>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0

=>4m(3m+1)<=0 và 1>0

=>m(3m+1)<=0

=>-1/3<=m<=0

1.

Nếu \(m=0\), \(f\left(x\right)=2x\)

\(\Rightarrow m=0\) không thỏa mãn

Nếu \(x\ne0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-4m^2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\dfrac{1}{3}\)

2.

\(\dfrac{-x^2+2x-5}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2-4}{x^2-mx+1}\le0\forall x\)

\(\Leftrightarrow x^2-mx+1>0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Leftrightarrow-2< m< 2\)

Kết luận: \(-2< m< 2\)

TH1: m+1=0 <=> m=-1

Khi đó bpt là -2(-1+1)x+4 >= 0 <=> -4x+4 >= 0 <=> x<=1 (KTM S=R) => loại

TH2: m+1 khác 0 <=> m khác -1

Để bpt (m+1)x2 -2(m+1)x+4 ≥ 0 có nghiệm với mọi x 

<=> $\{\begin{array}{c}a>0\\ {\Delta }^{\prime }\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m+1>0\\ {\left[-\left(m+1\right)\right]}^2-4\left(m+1\right)\le 0\end{array}$

<=>