\(limu_n=lim\dfrac{1}{n}=0\); \(limv_n=lim\left(-\dfrac{1}{n}\right)=0\).
\(limf\left(u_n\right)=lim\left(\sqrt{\dfrac{1}{n}}+1\right)=1\).
\(limf\left(v_n\right)=lim\left(2.\dfrac{-1}{n}\right)=lim\dfrac{-2}{n}=0\).
Hai dãy số \(\left(u_n\right)\) và \(\left(v_n\right)\) đều có giới hạn 0 khi n tiến ra dương vô cùng nhưng \(limf\left(u_n\right)\ne limf\left(v_n\right)\) nên f không có giới hạn tại \(x=0\).

Bài 4:

Để chứng minh $f(x,y)$ liên tục tại $(0;0)$ ta chứng minh \(\lim\limits _{x\to 0, y\to 0}f(x)=\lim\limits _{x\to 0, y\to 0}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0\)

Thật vậy:

Với mọi \(\varepsilon >0\) ta chọn \(\delta=2\varepsilon\). Khi $\sqrt{x^2+y^2}< \delta$ thì ta luôn có:

\(|f(x)|=\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{2}< \frac{\delta}{2}=\varepsilon\)

Theo định nghĩa giới hạn suy ra

\(\lim\limits_{x\to 0; y\to 0}f(x,y)=0=f(0,0)\) nên hàm liên tục tại $(0;0)$

Bài 4:

Thấy rằng:

\(\left\{\begin{matrix} z'_x=1-2x=0\\ z'_y=2-2y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{2}\\ y=1\end{matrix}\right.\)

Do đó hàm số có điểm dừng $M(\frac{1}{2}, 1)$

Tại $M(\frac{1}{2}, 1)$ ta thấy:

\(\left\{\begin{matrix} z''_{xx}=-2=A\\ z''_{xy}=0=B\\ z''_{yy}=-2=C\end{matrix}\right.\)

Ta thấy: $B^2-AC< 0$ và $A<0$ nên hàm $z$ có cực đại tại $(x,y)=(\frac{1}{2}, 0)$

Vậy $z_{cđ}=\frac{45}{4}$ tại $(x,y)=(\frac{1}{2},0)$

đẳng cấp

Tham khảo:

Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)

Ta có

g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)

g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)

(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).

Do đó,

Theo định nghĩa ta có :

\(f'\left(x\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(a+\right)-f\left(a\right)}{\Delta x}\)

         \(=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left(a+\Delta x-1\right)\varphi\left(a+\Delta x\right)}{\Delta x}\) do (\(f\left(a\right)=0\))

          \(=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\varphi\left(a+\Delta x\right)\)

Khi \(\Delta x\rightarrow0\) thì \(a+\Delta x\rightarrow a\) và do \(\varphi\left(x\right)\) là hàm liên tục tại x = a nên có :

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\varphi\left(a+\Delta x\right)=\varphi\left(a\right)\)

Vậy \(f'\left(a\right)=\varphi\left(a\right)\)

Ý kiến đúng

Giả sử ngược lại y = f(x) + g(x) liên tục tại x0. Đặt h(x) = f(x) + g(x). Ta có g(x) = h(x) – f(x).

Vì y = h(x) và y = f(x) liên tục tại x0 nên hiệu của chúng là hàm số y = g(x) phải liên tục tại x0. Điều này trái với giả thiết là y = g(x) không liên tục tại x0.

+) Hàm số xác định khi và chỉ khi x2+ x – 6 ≠ 0 <=> x ≠ -3 và x ≠ 2.

Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞; -3), (-3; 2) và (2; +∞)

+) Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi

tanx ≠ 0 <=> x ≠ π/2 +kπ với k ∈ Z.

Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng ( – π/2+kπ; π/2 +kπ) với k ∈ Z.