Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(0)=1 và $3{\int }_0^1\left[\right(f\text{'}\left(x\right).f{\left(x\right))}^2+\frac{1}{9}]dx\le 2{\int }_0^1\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f(x)dx$. Tính ${\int }_0^1{\left[f\right(x\left)\right]}^3$ 

Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện f(0)=1 và $3\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\text{'}\left(x\right).{\left[f\left(x\right)\right]}^2+\frac{1}{9}\right]dx\le 2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{f\text{'}\left(x\right)}.f\left(x\right)dx.$ Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\left(x\right)\right]}^{3}dx.$

Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thoả mãn f(0)=3,f(2)=12 và ${\int }_0^2\frac{\left(f^{\text{'}}\right(x){)}^2}{f\left(x\right)}dx=6$. Tính f(1).

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], f(x) và f' (x) đều nhận giá trị dương trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=2, ${\int }_0^1{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right).\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){]}^2+1]\mathrm{dx}=2{\int }_0^1\sqrt{{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.$ Tính ${\int }_0^1\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){]}^3\mathrm{dx}?$

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên $R\backslash \left\{\frac{1}{3}\right\}$ thỏa mãn các điều kiện sau: $f\left(x\right)(3x+2)+f\text{'}\left(x\right)(3x-1)=x^2+1$; $f\left(0\right)=-3$ Khi đó giá trị của ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$ nằm trong khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số f (x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên khoảng  $(0;+\infty )$ thỏa mãn  $\frac{2f^{\text{'}}\left(x\right)}{\left(f\right(x){)}^2}=\frac{f\left(x\right)(x+2)}{x^3}$ , $\forall x>0$ và $f\left(1\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Tích phân  ${\int }_1^2\frac{1}{\left(f\right(x){)}^2}dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàmf'(x) xác định và liên tục trên đoạn [0;6]. Đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ bên. Biết f(0)=f(3)=f(6)=-1,f(1)=f(5)=1. Số điểm cực trị của hàm số  $y=\left[f\right(x){]}^2$ trên đoạn [0;6] là

Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn ${\int }_1^2{(x-1)}^2 f\left(x\right)dx=-\frac{1}{3}$, f(2) = 0 và ${\int }_1^2{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=7$. Tính tích phân ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx$ 

Cho hàm số liên tục trên khoảng (a;b) và $x_0\in \left(a;b\right)$. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ?

(1) Hàm số đạt cực trị tại điểm $x_0$ khi và chỉ khi $f\text{'}\left(x_0\right)=0$

 (2) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_0$ thỏa mãn điều kiện $f\text{'}\left(x_0\right)=f"\left(x_0\right)=0$ thì điểm  $x_0$ không là điểm cực trị của hàm số  $y=f\left(x\right)$

(3) Nếu f'(x) đổi dấu khi x qua điểm  $x_0$ thì điểm  $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x)

(4) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm  $x_0$ thỏa mãn điều kiện $f\text{'}\left(x_0\right)=0\text{,\hspace{0.17em}}f"\left(x_0\right)>0$ thì điểm  $x_0$ là điểm cực đại của hàm số y = f(x)