1) Cho hàm số f(x) liên tục trên R⁺ thỏa mãn f '(x) \(\ge x+\dfrac{1}{x},\forall x\in R^+\) và f(1) = 1. CM : \(f\left(2\right)\ge\dfrac{5}{2}+ln2\).

2) Cho hàm số y = f(x) > 0 xác định, có đạo hàm trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn : \(g\left(x\right)=1+2018\int\limits^x_0f\left(t\right)dt\) , g(x) = f² (x). Tính \(\int\limits^1_0\sqrt{g\left(x\right)}dx\).

3) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1; \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=9\) và \(\int\limits^1_0x^3f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}\). Tính tích phân \(\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\).

1, Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([\frac{2}{3};1]\) và thỏa mãn \(2f\left(x\right)+3f\left(\frac{2}{3x}\right)=5x\) với \(\forall x\in\left[\frac{2}{3};1\right]\). Tính tích phân \(I=\int\limits^1_{\frac{2}{3}}\frac{f\left(x\right)}{x}dx\)

2, Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0,2] và thoản mãn \(3f\left(x\right)-4f\left(2-x\right)=-x^2-12x+16\) với \(\forall x\in\left[0;2\right]\). Tính tích phân \(I=\int\limits^2_0f\left(x\right)dx\)

3, Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left(x\right)=4xf\left(x^2\right)+2x+1\) với \(\forall x\in R\) . Tính tích phân \(I=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

Câu 41: Cho hàm số \(f\left(x\right)\) liên tục trên R và thoả mãn \(f\left(0\right)=0\) và \(f\left(x\right)f’\left(\frac{1}{x^2+1}\right)\left(x^2+1\right)=2x^4+4x^3+4x^2+8x\). Tính \(\int\limits^3_0f\left(x\right)dx\)

a) 0 b) 18 c) \(\frac{117}{4}\) d) 15

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)thỏa mãn \(x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) với mọi \(x\inℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)và \(f\left(1\right)=-2ln2\).Biết \(f\left(2\right)=a+bln3\)với \(a,b\inℚ\).Tính \(P=a^2+b^2\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=\left(x-9\right)^4\)

b) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2-x\right)^2}\)

c) \(f\left(x\right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

d) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\)

e) \(f\left(x\right)=\dfrac{1-\cos2x}{\cos^2x}\)

g) \(f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}\)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :

a) \(f\left(x\right)=-3x^2+4x-8\) trên đoạn \(\left[0;1\right]\)

b) \(f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x-7\) trên đoạn \(\left[-4;3\right]\)

c) \(f\left(x\right)=\sqrt{25-x^2}\) trên đoạn \(\left[-4;4\right]\)

d) \(f\left(x\right)=\left|x^2-3x+2\right|\) trên đoạn \(\left[-10;10\right]\)

e) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin x}\) trên đoạn \(\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{6}\right]\)

g) \(f\left(x\right)=2\sin x+\sin2x\) trên đoạn \(\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right]\)

Câu 1. Cho hàm số chẵn y=f (x) liên tục trên R và \(\int\limits^1_{-1}\dfrac{f\left(2x\right)}{1+2^x}dx=8\).Tính \(\int_0^2f\left(x\right)dx\)

Câu 2:Cho hàm số y=f (x) có đạo hàm và liên tục trên [0;1]và thỏa f(0)=1.\(\int_0^1\left[f'\left(x\right)\left[f^2\left(x\right)\right]+1\right]dx=2\int_0^1\sqrt{f'\left(x\right)}f\left(x\right)dx\).Tính\(\int_0^1\left[f^3\left(x\right)\right]dx\).

Câu 1: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\), biết \(f’\left(x\right)=k\left(\frac{\sqrt{m}-m}{m^2}\right)\left(x-k\right)\) ( m,k là các hằng số ). Tìm tấc cả các giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[0;2020\right]\) để đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) có duy nhất một cực đại tại \(x=k\) \(\forall k\in\left[1;10\right]\).
a) 1

b) 2019

c) 2020

d) 0

Câu 2: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên \(R\). Biết \(f‘\left(0\right)=1,f\left(1\right)=0\), GTLN hàm số \(f\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[0;1\right]\) bằng \(\frac{4}{27}\) tại điểm \(x=\frac{1}{3}\) và \(\int\limits^1_0f”\left(x\right)f’\left(x\right)dx=-\frac{1}{2}\). Hỏi phương trình \(f\left(\sqrt[3]{x}\right)=\sqrt[3]{x}\) có bao nhiêu nghiệm

a) 3

b) 2

c) 1

d) 0

Câu 3: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có \(f’\left(x\right)=x\left(x-2\right)\left(x^2-x\right)^{11}\). Hỏi hàm số \(y=f\left(\frac{2\sqrt{x-2}}{x-2}\right)\) đồng biến trên khoảng