thầy nói đề sai rồi mà 

phải là cm ƯCLN của a và b ko lớn hơn \(\sqrt{m+n}\)

Gọi \(gcd\left(m;n\right)=d\Rightarrow m=ad;n=bd\left(a,b\inℕ^∗\right)\) và \(\left(m;n\right)=1\)

Ta có:

\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{m^2+m+n^2+n}{mn}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+\left(a+b\right)}{abd}\)

\(\Rightarrow a+b⋮d\Rightarrow a+b\ge d\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)

Vậy ta có đpcm

Bài 1:

a: Xét ΔAHB và ΔAHC có

AH chung

HB=HC

AB=AC

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)

=>AH là phân giác của góc BAC
c: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\hat{AHB}=\hat{AHC}\)

mà \(\hat{AHB}+\hat{AHC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

nên AH⊥BC tại H

d: Ta có: \(\hat{ABC}+\hat{ABM}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACB}+\hat{ACN}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABC}=\hat{ACB}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{ABM}=\hat{ACN}\)

Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC
\(\hat{ABM}=\hat{ACN}\)

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

=>AM=AN

e: HB+BM=HM

HC+CN=HN

mà HB=HC và BM=CN

nên HM=HN

=>H là trung điểm của NM

f: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: HN=HM

=>H nằm trên đường trung trực của MN(2)

Ta có: EM=EN

=>E nằm trên đường trung trực của MN(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,H,E thẳng hàng

A B C D E M 1 2 2 1 1 2

b) Xét hai tam giác ABE và ACD có:

AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\widehat{A}\): góc chung

AD = AE (gt)

Vậy: \(\Delta ABE=\Delta ACD\left(c-g-c\right)\)

Suy ra: BE = CD (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: \(\widehat{D_1}+\widehat{D_2}=180^o\)

\(\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=180^o\)

Mà \(\widehat{D_1}=\widehat{E_1}\) (\(\Delta ABE=\Delta ACD\))

\(\Rightarrow\) \(\widehat{D_2}=\widehat{E_2}\)

Ta lại có: BD = AB - AD

CE = AC - AE

Mà AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

AD = AE (gt)

\(\Rightarrow\) BD = CE

Xét hai tam giác BDM và CEM có:

\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\) (\(\Delta ABE=\Delta ACD\))

BD = CE (cmt)

\(\widehat{D_2}=\widehat{E_2}\) (cmt)

Vậy: \(\Delta BDM=\Delta CEM\left(g-c-g\right)\)

d) Xét hai tam giác ABM và ACM có:

AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

MB = MC (\(\Delta BDM=\Delta CEM\))

AM: cạnh chung

Vậy: \(\Delta ABM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)

Suy ra: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\) (hai góc tương ứng)

Do đó: AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (đpcm).

Cho mk hỏi M là giao điểm của BE và CD hay của BD và CD vậy?