Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Thiên Trang

Question

cho hai số thực x,y thỏa mãn:

$\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015$

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B=

Hung nguyen · Accepted Answer

Dễ thấy: $\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{x^2+2015}\ne0\2y-\sqrt{4y^2+2015}\ne0\end{matrix}\right.$

Ta có:

$\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015$

$\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)$

$\Leftrightarrow2015\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)$

$\Leftrightarrow2y+x=\sqrt{x^2+2015}-\sqrt{4y^2+2015}\left(1\right)$

Tương tự ta có:

$x+2y=\sqrt{4y^2+2015}-\sqrt{x^2+2015}\left(2\right)$

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

$2x+4y=0$

$\Leftrightarrow x=-2y$

Thế vào B ta được:

$B=\dfrac{\left(-2y\right)^2}{2}+4.\left(-2y\right)y+3y^2+\left(-2y\right)+3y+15$

$=-3y^2+y+15$

$=\dfrac{181}{12}-\left(\sqrt{3}y-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2\le\dfrac{181}{12}$

Câu trả lời:

Dễ thấy: $\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{x^2+2015}\ne0\2y-\sqrt{4y^2+2015}\ne0\end{matrix}\right.$

Ta có:

$\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015$

$\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+2015}\right)\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)$

$\Leftrightarrow2015\left(2y+\sqrt{4y^2+2015}\right)=2015\left(\sqrt{x^2+2015}-x\right)$

$\Leftrightarrow2y+x=\sqrt{x^2+2015}-\sqrt{4y^2+2015}\left(1\right)$

Tương tự ta có:

$x+2y=\sqrt{4y^2+2015}-\sqrt{x^2+2015}\left(2\right)$

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được:

$2x+4y=0$

$\Leftrightarrow x=-2y$

Thế vào B ta được:

$B=\dfrac{\left(-2y\right)^2}{2}+4.\left(-2y\right)y+3y^2+\left(-2y\right)+3y+15$

$=-3y^2+y+15$

$=\dfrac{181}{12}-\left(\sqrt{3}y-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2\le\dfrac{181}{12}$