\(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)^2-3xy\)

Đặt \(x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t^2}{t+3}\)

Lại có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow t^2\ge\frac{4t^2}{t+3}\)

\(\Leftrightarrow t^2\left(\frac{t-1}{t+3}\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge1\\t< -3\end{matrix}\right.\)

\(A=\frac{x^3+y^3}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)xy}{\left(xy\right)^3}=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\)

\(A=\left(\frac{t\left(t+3\right)}{t^2}\right)^2=\left(\frac{t+3}{t}\right)^2=\left(1+\frac{3}{t}\right)^2\)

\(\Rightarrow y'=-\frac{6\left(t+3\right)}{t^3}< 0\) \(\forall t\ge1;t< -3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^2=1\Rightarrow A_{max}=A\left(1\right)=16\)

\(\Rightarrow M=16\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Bài này thì chia 2 vế của giả thiết cho z² ta thu được:

\(\frac{x}{z}+2.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}=4\Leftrightarrow a+2ab+b=4\)

(đặt \(a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}\)).Mà ta có: \(4=a+2ab+b\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\ge2\) Lại có:

\(P=\frac{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2+\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)}+\frac{3}{2}.\frac{1}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\right)^2}\) (chia lần lượt cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho z²)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}+\frac{3}{2\left(a+b+1\right)^2}\).. Tiếp tục đặt \(t=a+b\ge2\) thu được:

\(P=\frac{t}{\left(t+1\right)}+\frac{3}{2\left(t+1\right)^2}=\frac{2t\left(t+1\right)+3}{2\left(t+1\right)^2}\)\(=\frac{2t^2+2t+3}{2\left(t+1\right)^2}-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\)

\(=\frac{2\left(t-2\right)^2}{12\left(t+1\right)^2}+\frac{5}{6}\ge\frac{5}{6}\)

Vậy...

P/s: check xem em có tính sai chỗ nào không:v

Dấu "=" xảy ra khi nào vậy Khang ? 

\(\left(xy-1\right)2^{2xy-1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)+1}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy-1\right)2^{2\left(xy-1\right)}=\left(x^2+y\right)2^{x^2+y}\)

Do vế phải luôn dương \(\Rightarrow VT>0\Rightarrow xy-1>0\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t.2^t\) với \(t>0\Rightarrow f'\left(t\right)=2^t+t.2^t.ln2>0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)

\(\Rightarrow2\left(xy-1\right)=x^2+y\Rightarrow2xy-y=x^2+2\) (thay \(x=\dfrac{1}{2}\) thấy ko phải nghiệm)

\(\Rightarrow y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}\) (2)

Thay (2) vào (1): \(xy-1>0\Rightarrow x.\left(\dfrac{x^2+2}{2x-1}\right)-1>0\Rightarrow\dfrac{x^3+2x}{2x-1}-1>0\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^3+1}{2x-1}>0\Rightarrow2x-1>0\) (do \(x>0\Rightarrow x^3+1>0\))

Vậy \(y=\dfrac{x^2+2}{2x-1}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}=\dfrac{2x-1}{4}+\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}+\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow y\ge2\sqrt{\dfrac{\left(2x-1\right)}{4}.\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}}+\dfrac{1}{2}=2\)

\(\Rightarrow y_{min}=2\) khi \(\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{9}{4\left(2x-1\right)}\Rightarrow x=2\)

Đáp án B

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có :

   \(P\ge\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{x^3y^3}}}{xy}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{y^3z^3}}}{yz}+\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{z^3x^3}}}{zx}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\)  (1)

Lại theo bất đẳng thức Cô si thì :

\(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{27}{\left(xyz\right)^2}}}\)    (2)

Vì \(xyz=1\) nên ta có :

\(\sqrt{\frac{3}{xy}}+\sqrt{\frac{3}{yz}}+\sqrt{\frac{3}{zx}}\ge3\sqrt{3}\)

Khi \(x=y=z=1\Rightarrow P=3\sqrt{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=3\sqrt{3}\)

Đặt \(x+y=t,t\in\left[-2;2\right]\)

Biến đổi được \(P=-2t^3+6t\)

Xét \(f\left(t\right)=-2t^3+6t\) trên \(\left[-2;2\right]\)

Lập bảng biến thiên

Ta có \(P_{Max}=4\) khi t=1

          \(P_{Min}=-4\) khi t= -1

\(x^2+\left(y-3\right)x+y^2-4y+4=0\)

\(\Delta=\left(y-3\right)^2-4\left(y^2-4y+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3y^2+10y-7\ge0\Rightarrow1\le y\le\frac{7}{3}\)

\(y^2+\left(x-4\right)y+x^2-3x+4=0\)

\(\Delta=\left(x-4\right)^2-4\left(x^2-3x+4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3x^2+4x\ge0\Rightarrow0\le x\le\frac{4}{3}\)

Mặt khác ta có:

\(P=3x^3-3y^3+20x^2+5y^2+39x+2\left(-x^2-y^2+4y+3x-4\right)\)

\(P=\left(3x^3+18x^2+45x\right)+\left(-3y^3+3y^2+8y-8\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=3x^3+18x^2+45x\) trên \(\left[0;\frac{4}{3}\right]\)

\(f'\left(x\right)=9x^2+36x+45>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(x\right)\le f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{892}{9}\)

Xét \(f\left(y\right)=-3y^3+3y^2+8y-8\) trên \(\left[1;\frac{7}{3}\right]\)

\(f'\left(y\right)=-9y^2+6y+8=0\Rightarrow y=\frac{4}{3}\)

\(f\left(1\right)=0\) ; \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\) ; \(f\left(\frac{7}{3}\right)=-\frac{100}{9}\)

\(\Rightarrow f\left(y\right)_{max}=f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{9}\Rightarrow f\left(y\right)\le\frac{8}{9}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{892}{9}+\frac{8}{9}=100\)