Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{3a^2-3ab+3b^2}{3a^2+3ab+b^2}=\frac{a^2+ab+b^2+2a^2-4ab+2b^2}{3a^2+3ab+3b^2}\) \(=\frac{1}{3}+\frac{2\left(a-b\right)^2}{3a^2+3ab+3b^2}\)
. Xét \(a^2+ab+b^2\) \(=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
. Suy ra \(\frac{1}{3}+\frac{2\left(a-b\right)^2}{3a^2+3ab+3b^2}\ge\frac{1}{3}\) => \(MinQ=\frac{1}{3}\) khi \(a=b\)
. \(Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{3a^2+3ab+3b^2-2a^2-4ab-2b^2}{a^2+ab+b^2}\) \(=3-\frac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\le3\)
. Suy ra \(MaxQ=3\) khi \(a=-b\)
. Kết luận ^^
ta có \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2.a^2.b^2}{4a^2}}\)
Vậy\(\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\le1\Leftrightarrow a^2b^2\le4\Leftrightarrow-2\le ab\le2\)
Vậy \(2007\le ab+2009\le2011\)
maximize=3 khi b=-a
minimize =1/3 khi a=b
rảnh thì làm cho h fai ngủ r` (:|
Bài 2:
Bài 1:
\(a^2+b^2+c^2=14\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2-2ab-2bc-2ac=14\)\(\Leftrightarrow-2\left(ab+bc+ac\right)=14\Rightarrow ab+bc+ac=-7\)\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=49\)\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2+2abc\left(a+b+c\right)=49\)
\(\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=49\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)\(=14^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=196-2.49=98\)
Bài 2:
a) \(A=\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}\)
\(A=\dfrac{a^3}{abc}+\dfrac{b^3}{abc}+\dfrac{c^3}{abc}\)
\(A=\dfrac{1}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(A=\dfrac{1}{abc}\left[\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\right]\)
Vì \(a+b+c=0\)
Nên a + b = -c (1)
Thay (1) vào A, ta được:
\(A=\dfrac{1}{abc}\left[\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)+c^3\right]\)
\(A=\dfrac{1}{abc}.3abc\)
\(A=3\)
b) \(B=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}\)
\(B=\dfrac{a^2}{a^2-\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{b^2-\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{c^2}{c^2-\left(a^2+b^2\right)}\)
Vì \(a+b+c=0\)
Nên b + c = -a
=> ( b + c )2 = (-a)2
=> b2 + c2 + 2bc = a2
=> b2 + c2 = a2 - 2bc (1)
Tương tự ta có: c2 + a2 = b2 - 2ac (2)
a2 + b2 = c - 2ab (3)
Thay (1), (2) và (3) vào B, ta được:
\(B=\dfrac{a^2}{a^2-\left(a^2-2bc\right)}+\dfrac{b^2}{b^2-\left(b^2-2ac\right)}+\dfrac{c^2}{c^2-\left(c^2-2ab\right)}\)
\(B=\dfrac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2-b^2+2ac}+\dfrac{c^2}{c^2-c^2+2ab}\)
\(B=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\)
\(B=\dfrac{a^3}{2abc}+\dfrac{b^3}{2abc}+\dfrac{c^3}{2abc}\)
\(B=\dfrac{1}{2abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Mà \(a^3+b^3+c^3=3abc\) ( câu a )
\(\Rightarrow B=\dfrac{1}{2abc}.3abc\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{3}{2}\)
Bài 1:
a) GT: abc = 2
\(M=\dfrac{a}{ab+a+2}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2c}{ac+2c+2}\)
\(M=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{abc+2cb+2b}\)
\(M=\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{2+2cb+2b}\)
\(M=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{2cb}{2\left(1+cb+b\right)}\)
\(M=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\)
\(M=\dfrac{1+b+bc}{bc+b+1}\)
\(M=1\)
b) GT: abc = 1
\(N=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(N=\dfrac{a}{ab+a+abc}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{cb}{b\left(ac+c+1\right)}\)
\(N=\dfrac{a}{a\left(b+1+bc\right)}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{abc+bc+b}\)
\(N=\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{bc}{bc+b+1}\)
\(N=\dfrac{1+b+bc}{bc+b+1}\)
\(N=1\)
ta có : 3-Q=\(\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\)>=0
\(\Rightarrow\) Max Q=3
ta có : Q-\(\dfrac{1}{3}\)= \(\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{3\left(a^2+ab+b^2\right)}\)>=0
\(\Rightarrow\)Min Q=\(\dfrac{-1}{3}\)
Hãy dùng phương pháp tập thể dục như của Hung nguyen nhé
Theo bài ra , ta có :
\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab}{a^2+ab+b^2}=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)
Vì a,b đồng thời không bằng không ta chia cả tử và mẩu cho 2ab , ta được
\(\dfrac{2a}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a^2}{2ab}+1+\dfrac{b^2}{2ab}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\)
Vì a,b khác 0 =) a/2b , b/2a khác 0
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số a/2b , b/2a khác 0
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{2b}.\dfrac{b}{2a}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}\ge1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\)
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{5}\)
\(\Rightarrow Max_Q=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}=\dfrac{b}{2a}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}-\dfrac{b}{2a}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)
mà a và b là hai số khác 0 =) a = b
Vậy GTLN của Q là 1/5 khi và chỉ khi a = b
Tìm Min
\(Q=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\ge1-\dfrac{2ab}{2ab+ab}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
Tìm Max
Chia cả 2 vế của Q cho b2 ta có:
\(Q=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\dfrac{a}{b}+1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\dfrac{a}{b}+1}\)
Đặt \(x=\dfrac{a}{b}\), lúc này ta có: \(Q=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)\(=\dfrac{3x^2+3x+3-2x^2-4x-2}{x^2+x+1}=3-\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi x = -1 = \(\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow a=-b\)
e cũng góp 1 cách (nhưng của lớp 9)
\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\Leftrightarrow\left(Q-1\right)a^2+\left(Qb+b\right)a+Qb^2-b^2=0\)
phương trình ẩn a phải có nghiệm (thì mới có MIn Max )
\(\Delta=b^2-4ac=b^2\left(Q+1\right)^2-4b^2\left(Q-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow b^2\left[\left(Q+1\right)^2-4\left(Q-1\right)^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(Q+1-2Q+2\right)\left(Q+1+2Q-2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(3-Q\right)\left(3Q-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le Q\le3\)
dấu = xảy ra: (thay Q vừa tìm đk vào pt )
Biến đổi phân thức với biến \(x=\dfrac{a}{b}\) ta được :
\(Q=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)
Thấy : Biểu thức nhận giá trị là m khi và chỉ khi phương trình \(m=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)(*) có nghiệm .
Dễ thấy x2+x+1 > 0
Do đó (*) \(\Leftrightarrow mx^2+mx+m=x^2-x+1\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2+\left(m+1\right)x+\left(m-1\right)=0\)(**)
(+) Nếu m = 1 => (**) có nghiệm x = 0
(+) Nếu \(m\ne1\)
Để (**) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-4\left(m-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-1\right)\left(m-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le m\le3\)
+ Với \(m=\dfrac{1}{3}\) => x = 1
<=> Dấu " = " xảy ra khi a=b
+ Với \(m=3\) => x = - 1
<=> Dấu " = " xảy ra khi a = - b
Vậy MinQ=\(\dfrac{1}{3}\) khi a=b ; MaxQ=3 khi a = - b
Bài này với cách làm lớp 8 thì chắc chắn không tự nhiên cho lắm . Nên áp dụng " Công thức nghiệm phương trình bậc hai " lên lớp 9 sẽ được học sẽ tìm được cả Min lẫn Max . Cái này hôm bữa mình còng soạn dở trong bài giảng .
có ai biết làm bài này bằng cách lớp 8 ko ?
đúng lớp 8 rồi
có vẻ 1/5 sai thì phải
Các bạn làm rồi hiểu chưa
ĐS: @thungan có lẽ chuẩn hơn cao ca phát
là sao thế ngonhuminh
là sao thế ngonhuminh
Xem lại đi @ thu ngan
mình chưa làm nhưng có lẽ Q>0 sao âm đuọc
Mình chưa làm --> chỉ cảm giác đáp số sai
khi: a=b
\(Q=\dfrac{a^2}{3a^2}=\dfrac{1}{3}\)
cách làm đúng rồi xem lại có thể biến đổi sai chỗ nào đó
\(a^2+b^2\ge2ab\forall a,b\Rightarrow Qkhong.the.am\)
ngonhuminh là sao bn nói thu Ngân sai mà
đúng rồi đó
cho sửa chút nha Max thành Min nha
Mình dừng lại "có lẽ" chuẩn hơn mà
của nó Max còn của tui Min mà
Ngân làm Max nha ༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻ còn mik làm Min nha cho mik sửa 1 chút thôi
Xem đến đoạn giữa --> không giống hungnguyen nữa.
Nếu dùng cosi dùng ngay từ đầu--> sao phải tập thể dục nữa.
Tiếp:
đoạn tập thể dục này:
Chạy tiếp sực:
ngonhuminh ghi cho nó vui ấy mà
cách của bạn dài dòng quá
༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻ bn kêu lp 8 mà
chia cho ab thôi.
\(A=\dfrac{a}{b}+1+\dfrac{b}{a}\)
\(A=\left\{{}\begin{matrix}ab>0\\\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^2+3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\ge3\) khi a=b
\(A=\left\{{}\begin{matrix}ab< 0\\-\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^2-1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A\le-1\) đẳng thức khi a=-b
\(\left\{{}\begin{matrix}A\ge3\\Q=1-\dfrac{2}{A}\Rightarrow Q\ge1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}A\le-1\\Q=1-\dfrac{2}{A}\Rightarrow Q\le1+\dfrac{2}{1}=3\end{matrix}\right.\)
NGÂN LÀM CẢ MAX CẢ MIN--> PHÂN MIN CUA NGAN BI SAI.
TẬP THỂ cho vui thôi nên theo cách @ ngân là hợp lý