a: Để (d1) vuông góc với (d3) thì 2m-1=-1

=>m=0

b: Tọa độ A là:

x+2=-2x+4 và y=x+2

=>3x=2 và y=x+2

=>x=2/3 và y=2/3+2=8/3

M thuộc (d1) nên M(1-2t;1+t)

Theo đề, ta có: d(M;d2)=d(M;d3)

=>\(\dfrac{\left|\left(1-2t\right)\cdot3+\left(1+t\right)\cdot4-4\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{\left|\left(1-2t\right)\cdot4+\left(1+t\right)\cdot\left(-3\right)+2\right|}{\sqrt{4^2+\left(-3\right)^2}}\)

=>|-6t+3+4t+4-4|=|4-8t-3t-3+2|

=>|-2t+3|=|-11t+3|

=>-2t+3=-11t+3 hoặc -2t+3=11t-3

=>t=0 hoặc t=6/13

=>M(1;1); M(1/13; 19/13)

Vì a=a'(1=1) và b<>b'(0<>-2)

nên (d1)//(d3)

Gọi A là giao điểm của (d1) và (d2), B là giao điểm của (d2) và (d3), C là giao điểm của (d1) và (d4), D là giao điểm của (d3) và (d4)

Để ABDC là hình vuông thì (d2)//(d4)

=>m=-1 và n<>2

=>(d4): y=-x+n

Tọa độ A là:

\(\begin{cases}x=-x+2\\ y=x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x=2\\ y=x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ y=1\end{cases}\)

=>A(1;1)

Tọa độ B là:

\(\begin{cases}-x+2=x-2\\ y=x-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-2x=-4\\ y=x-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=2\\ y=2-2=0\end{cases}\)

=>B(2;0)

Tọa độ D là:

\(\begin{cases}x-2=-x+n\\ y=x-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x=n+2\\ y=x-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{n+2}{2}\\ y=\frac{n+2}{2}-2=\frac{n-2}{2}\end{cases}\)

=>\(D\left(\frac{n+2}{2};\frac{n-2}{2}\right)\)

Tọa độ C là:

\(\begin{cases}-x+n=x\\ y=x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-2x=-n\\ y=x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{n}{2}\\ y=x=\frac{n}{2}\end{cases}\)

=>C(n/2;n/2)

ABDC là hình vuông

=>AB=AC và AB⊥ AC

=>d2⊥d1(đúng vì a*a'=1*(-1)=-1) và AB=AC

A(1;1); B(2;0); C(n/2;n/2)

\(AB=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(0-1\right)^2}=\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(\frac{n}{2}-1\right)^2+\left(\frac{n}{2}-1\right)^2}=\sqrt{2\cdot\left(\frac{n}{2}-1\right)^2}=\sqrt2\cdot\left|\frac{n}{2}-1\right|\)

AB=AC

=>\(\sqrt2\cdot\left|\frac{n}{2}-1\right|=\sqrt2\)

=>\(\left|\frac{n}{2}-1\right|=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}\frac{n}{2}-1=1\\ \frac{n}{2}-1=-1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}\frac{n}{2}=2\\ \frac{n}{2}=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}n=4\\ n=0\end{array}\right.\)

=>(d4): y=-x+4 hoặc (d4): y=-x

Để hai đường thẳng d1;  d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên d3 khi và chỉ khi 3 đường thẳng d1;  d2; d3 đồng quy.

Giao điểm của d1 và d3 là nghiệm hệ phương trình:

x − 2 y ​ + 1 = 0 x + ​ y − 5 = 0 ⇔ x = 3 y = 2 ⇒ A ( 3 ;    2 )

Do 3 đường thẳng này đồng quy  nên điểm A thuộc d2. Suy ra:

3m -  (3m-2).2 + 2m – 2= 0

⇔ 3m – 6m + 4 + 2m – 2 =  0  ⇔  - m  + 2 = 0  ⇔  m= 2

Với m= 2 thì đường thẳng d2 :  2x -  4y  + 2= 0 hay  x- 2y + 1 =0 . Khi đó, đường thẳng d1 và d2 trùng nhau.

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

ĐÁP ÁN D

Giao điểm A(x; y) của hai đường thẳng d 2 và d 3 là nghiệm hệ phương trình: y = - x + 3 y = - 2 x + 1 ⇔ x = - 2 y = 5 ⇒ A ( - 2 ; 5 )

Do đường thẳng  d 4 // d 1 nên  d 4  có dạng: y = 2x + b

Ba đường thẳng  d 2 ;   d 3 ;   d 4  đồng quy nên điểm A(-2; 5) thuộc đường thẳng  d 4 .

Suy ra:  5 = 2.(-2) + b  ⇔ b = 9

Vậy phương trình đường thẳng ( d 4 ) là y = 2x + 9.