A O O' B C I

a, Vì AI là tiếp tuyến chung trong

        BC là tiếp tuyến chung ngoài

=> IA = IB = IC

=> tam giác BAC vuông ở A

=> ^BAC = 90^o

b, Vì IA , IB là tiếp tuyến (O)

=> IO là phân giác ^BIA

=> \(\widehat{OIA}=\frac{\widehat{BIA}}{2}\)

Tương tự \(\widehat{O'IA}=\frac{\widehat{CIA}}{2}\)

Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=180^o\)

\(\Rightarrow\frac{\widehat{BIA}+\widehat{CIA}}{2}=90^o\)

=> ^OIA  + ^O'IA = 90^o

=> ^OIO' = 90^o

c, Xét tam giác OIO' vuông tại I có IA là đường cao

\(IA^2=OA.O'A\)(Hệ thức lượng)

\(\Leftrightarrow IA^2=9.4\)

\(\Leftrightarrow IA=6\)(Do IA > 0)

MÀ BC = 2IA

=> BC = 12

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên:

c) ΔOIO' vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA2 = AO.AO' = 9.4 = 36

=> IA = 6 (cm)

Vậy BC = 2.IA = 2.6 = 12 (cm)

Ta có:

Mà OB ⊥ BC ⇒ IM ⊥ BC

Ta có:

IM ⊥ BC

BC ⋂ (I; IM) = {M}

Suy ra, BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính IM

a: Xét (O) có

IB,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IB=IA và IO là phân giác của góc BIA

IO là phân giác của góc BIA

=>\(\hat{BIA}=2\cdot\hat{OIA}\)

Xét (O') có

IA,IC là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IC và IO' là phân giác của góc AIC

IO' là phân giác của góc AIC

=>\(\hat{AIC}=2\cdot\hat{AIO^{\prime}}\)

Ta có: IB=IA

IA=IC

Do đó: IB=IC

=>I là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AI là đường trung tuyến

AI=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

b: Ta có: \(\hat{BIA}+\hat{CIA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{OIA}+\hat{O^{\prime}IA}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{O^{\prime}IO}=180^0\)

=>\(\hat{O^{\prime}IO}=90^0\)

c: Xét ΔIO'O vuông tại I có IA là đường cao

nên \(IA^2=AO\cdot AO^{\prime}=9\cdot4=36=6^2\)

=>IA=6(cm)

=>BC=2*IA=12(cm)

1 2 1 2 3 4 B I C O A O'

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta được IA = IB, IA = IC .

Tam giác ABC có đường trung tuyến \(AI=\frac{1}{2}BC\)nên là tam giác vuông

Vậy \(\widehat{BAC}=90^o\left(đpcm\right)\)

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có IO, IO' là các tia phân giác của hai góc kề bù AIB, AIC nên :

\(\widehat{OIO'}=\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}+\frac{1}{2}\widehat{AIC}=\frac{1}{2}\left(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}\right)\)

Vậy : \(\widehat{OIO'}=90^o\)

c) \(\Delta OIO'\) vuông tại A có IA là đường cao nên theo hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

    IA² = AO.AO' = 9 . 4 = 36

=> IA = 6 ( cm )

Vậy BC = 2 . IA = 2 . 6 = 12 (cm)

Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).

Gọi I là trung điểm của OO', I là tâm của đường tròn có đường kính OO', IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO'. IM là đường trung bình của hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C. Do đó IM ⊥ BC.

BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).