Ta có : OB // O’C (gt)

Suy ra : (hai góc trong cùng phía)

OA = OB (=R)

⇒ Tam giác AOB cân tại O

Ta có: O, A, O’ thẳng hàng

C, A, B thẳng hàng

Ta có: ΔO'AC cân tại O'

nên \(\widehat{CO'A}=180^0-2\cdot\widehat{A}\)(1)

Ta có: ΔOBA cân tại O

nên \(\widehat{BOA}=180^0-2\cdot\widehat{A}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{CO'A}=\widehat{BOA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên O'C//OB

(O) và (O') tiếp xúc trong tại A

=>O' nằm giữa O và A

=>O,O',A thẳng hàng

ΔO'AN cân tại O'

=>\(\hat{O^{\prime}NA}=\hat{O^{\prime}AN}=\hat{OAM}\) (1)

ΔOAM cân tại O

=>\(\hat{OMA}=\hat{OAM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{O^{\prime}NA}=\hat{OMA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên O'N//OM

Kẻ Mx là tiếp tuyến tại M của (O), Ny là tiếp tuyến tại N của (O')

=>Mx⊥OM tại M và Ny⊥NO' tại N

O'N//OM

Mx⊥OM

Do đó: Mx⊥O'N

ta có: Mx⊥NO'

Ny⊥NO'

Do đó: Mx//Ny(ĐPCM)

a: Kẻ tiếp tuyến chung AK của hai đường tròn, với K∈BC

Xét (O) có \(\hat{KAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AK và dây cung AB

=>\(\hat{KAB}=\frac12\cdot\hat{AOB}\)

Xét (O') có \(\hat{KAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AK và dây cung AC

nên \(\hat{KAC}=\frac12\cdot\hat{AO^{\prime}C}\)

Ta có: OB//O'C

=>\(\hat{BOO^{\prime}}+\hat{CO^{\prime}O}=180^0\)

=>\(\frac12\left(\hat{BOO^{\prime}}+\hat{CO^{\prime}O}\right)=180^0\cdot\frac12\)

=>\(\hat{KAB}+\hat{KAC}=90^0\)

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

b: (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A

=>OA+O'A=O'O

=>O'O=9+3=12(cm)

Xét ΔIOB có O'C//OB

nên \(\frac{IO^{\prime}}{IO}=\frac{O^{\prime}C}{OB}\)

=>\(\frac{IO^{\prime}}{IO^{\prime}+12}=\frac39=\frac13\)

=>\(3\cdot IO^{\prime}=IO^{\prime}+12\)

=>2IO'=12

=>IO'=6(cm)

OI=O'O+O'I=12+6=18(cm)