Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên 

Tam giác AEC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên 

Mặt khác:  (chứng minh trên)

Tứ giác ADME có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Tứ giác ADME là hình chữ nhật và ID = IE (chứng minh trên) nên đường chéo AM của hình chữ nhật phải đi qua trung điểm I của DE. Suy ra: A, I, M thẳng hàng.

Ta có: IA ⊥ OO’ (vì IA là tiếp tuyến của (O))

Suy ra: AM ⊥ OO’

Vậy MA là tiếp tuyến chung của đường tròn (O) và (O’)

Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt DE tại I

Trong đường tròn (O) ta có:

IA = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O’) ta có :

IA = IE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : IA = ID = IE = (1/2).DE

Tam giác ADE có đường trung tuyến AI ứng với cạnh DE và bằng nửa cạnh DE nên tam giác ADE vuông tại A

Suy ra: 

a: Qua A, kẻ tiếp tuyến chung AI của (O) và (O'), với I∈DE

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD⊥MB tại D

Xét (O') có

ΔAEC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAEC vuông tại E

=>AE⊥MC tại E

Xét (O) có

ID,IA là các tiếp tuyến

Do đó: ID=IA và IO là phân giác của góc DIA

Xét (O') có

IA,IE là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IE và IO' là phân giác của góc AIE

ID=IA

IA=IE

Do đó: ID=IE

=>I là trung điểm của DE
Xét ΔADE có

AI là đường trung tuyến

AI=1/2DE

Do đó:ΔADE vuông tại A

b: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

c: ADME là hình chữ nhật

=>AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của DE
nên I là trung điểm của AM

=>A,M,I thẳng hàng

=>AM⊥O'O tại A

=>AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O')

b)ME.MO = MA² (hệ thức lượng trong MAO vuông)

MF.MO’ = MA² (hệ thức lượng trong MAO’ vuông)

Suy ra ME.MO = MF.MO’

c)Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO’ vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).

d)Hình b

Gọi I là trung điểm của OO’, I là tâm của đường tròn có đường kính OO’, IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO’. IM là đường trung bình của hình thang OBCO’ nên IM // OB // O’C. Do đó IM ⊥ BC.

BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).