Kẻ tiếp tuyến tại A. Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại A với dây BC.

Ta có: EM=EA và \(\widehat{EAM}=\widehat{EMA}\)( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{EAB}+\widehat{BAM}=\widehat{ECA}+\widehat{CAM}\)

Mà \(\widehat{EAB}=\widehat{ECA}\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) hay AM là phân giác góc BAC( đpcm)

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD

Suy ra: EC ⊥ AD     (1)

Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên vuông tại I

Suy ra: AI ⊥ CE     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI

Vậy D, A, I thẳng hàng.

kẻ iếp tuyến tại A

gọi E là gđiểm của tiếp tuyến ại A với dây BC

ta có: EM=EA và gócEAM=gócEMA ( t/c 2 iếp tuyến cắt nhau )

hay gócEAM +gócBAM=gócEAC+gócCAM

mà gócEAB=gócECA

=> gócBAM=gócCAM

hay AM là pg của gócBAC ( đpcm )

Do (O) tiếp xúc với (O') với nhau → tiếp điểm A nằm trên đường thẳng OO'

Gọi N là giao điểm của AM và (O)

O'M và ON vuông góc BC →O'M//ON→N là điểm chính giữa của cung BC→BAM = CAM

→AM là tia phân giác của góc BAC(đpcm)

Gọi tiếp tuyến qua A cắt BC tại I

Xét (O;R) có AI là tiếp tuyến, AB là dây

=> góc IAB = góc ACB ( hệ quả)

Xét (O';r) có AI, MI là tiếp tuyến => AI = MI

=> ΔAIM cân tại I => góc IAM = góc IMA

xét ΔAMC có góc IMA là góc ngoài đỉnh M =>góc IMA = góc MAC +góc MCA

có góc IAM = góc IAB + góc BAM 

mà góc IAM = IMA, IAB= MCA => góc BAM = góc MAC

=> AM là phân giác BAC

+ Kẻ tiếp tuyến chung $Ax$ cắt đường thẳng $BC$tại E

+ Ta có: $\widehat{EAC}=\widehat{ABC}$ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).

+ Mà: $\widehat{EMA}=\widehat{{\mathrm{BAM}}^{}}+\widehat{ABM}$ (tính chất góc ngoài tam giác).

⇒$\widehat{EAM}=\widehat{{\mathrm{MAC}}^{}}+\widehat{EAC}$.

+ Mặt khác: $\widehat{EMA}=\widehat{EAM}$ (vì $\Delta EAM$ cân tại $E$).

+ Nên: $\widehat{{\mathrm{BAM}}^{}}$

Gọi N là giao điểm của AM và (O).

Do (O) và (O’) tiếp xúc với nhau nên tiếp điểm A nằm trên đường thẳng OO’.

CM được ONM =O'MA (= OAM) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên ON //O'M

mà O'M vuông góc với BC nên ON  vuông góc với BC => N là điểm chính giữa cung BC => sđ cung BN = sđ cung CN =>  AM là tia phân giác của góc BAC.

Kẻ tiếp tuyến tại A . Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại A với dây BC 

Ta có ; EM=EA và gócEAM= gócEMA ( TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU ) 

hay góc EAB+ gócBAM = gócECA+gócCAM 

Mà góc EAB= góc ECA 

=> góc BAM = góc CAM hay AM là phân giác góc BAC (ĐPCM)

Kẻ tiếp tuyến tại A và gọi I là giao điểm giữa A và dây BC

Ta có : IM=IA và góc IAM=góc IMA( 2 tiếp tuyến cắt nhau)

hay góc IAB+góc BAM=góc ICA+góc CAM

Mà: góc IAB=góc ICA

⇒góc BAM=góc CAM hay AM là tia phân giác góc BAC

Đường tròn (o;r) và (o’;r)   tiếp xúc với nhau tại A

ð  A;O;O’ thẳng hàng

ð  Gọi N là giao điểm của AM  và (O)

ð  Xét tam giác O’MA có

ð  O’M = O’A (=r)

ð  Góc O’AM = góc O’MA (1)

ð  Xét tam giác OAN có ON =OA (=R)

ð  => góc ONA = góc OAM (2)

ð  Từ (1),(2) => góc ONM =góc O’MA

ð  Mà hai góc ở vị trí so le trong

ð  =>ON //O’M

ð  Mà O’M  vuông góc với BC

ð  =>ON vuông góc với BC

ð  Cung BN = cung NC

ð  => góc BAN = góc CAN

ð  => AN hay AM là phân giác của góc BAC

Xét (O) có : ON = OA = R 

⇒ΔONA cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAN}=\widehat{ONA}\) (t/c đường phân giác )

Xét (O') có O'A = O'M = R

⇒ΔOAM' cân tại O 

\(\Rightarrow\widehat{O'AM}=\widehat{AMO'}\) ( t/c đường phân giác )

\(\Rightarrow\widehat{AMO'}=\widehat{ONA}\)

Mà hai cặp góc ở vị trí đồng vị

⇒O'N // ON 

⇒ BC\(\perp ON\)

Ta có :BC \(\perp ON\) (cmt)

⇒N là điểm chính giữa của cung \(\stackrel\frown{BC}\) ( Định lý ) 

\(\Rightarrow\stackrel\frown{BN}=\stackrel\frown{NC}\)

Có : \(\widehat{BAN}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{BN}\)

        \(\widehat{NAC}\)  là góc nội tiếp chắn cung \(\stackrel\frown{NC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{NAC}\) ( hệ quả của góc nội tiếp )

\(\Rightarrow AN\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)