A B C G D E

Kẻ AE là đường trung tuyến của tam giác ABC, E\(\in\)BC

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC ( gt ) nên ta có : \(AG=\frac{2}{3}AE\Rightarrow\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}\)

Xét tam giác ABE có GD\(//\)AB ( G\(\in\)AE; D \(\in\)BE vì \(D\in BC\)mà \(E\in BC\)) ta có :

\(\frac{BD}{BE}=\frac{AG}{AE}\)( áp dụng định lý Ta-lét ) mà lại có :\(\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}\)( cmt )

\(\Rightarrow\frac{BD}{BE}=\frac{2}{3}\)

Mà AE là đường trung tuyến của tam giác ABC ( E \(\in\)BC ) nên E là trung điểm của BC

\(\Rightarrow BE=EC\)và \(BE+EC=BC\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{BD}{BE+EC}=\frac{2}{2\cdot BE}=\frac{2}{2\cdot3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow BD=\frac{1}{3}BC\)( ĐPCM )

Gọi E là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(Gt)

Do đó: G∈CE(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)

⇒GD//BE

Xét ΔABC có

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(E là trung điểm của AB)

G là trọng tâm của ΔABC(gt)

Do đó: \(CG=\dfrac{2}{3}CE\)(Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác)(1)

Ta có: CG+GE=CE(G nằm giữa C và E)

⇔GE=CE-EG

hay \(GE=\dfrac{1}{3}CE\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{CG}{GE}=\dfrac{2}{1}\)

Xét ΔCEB có 

G∈CE(cmt)

D∈BC(gt)

GD//EB(cmt)

Do đó: \(\dfrac{GC}{EG}=\dfrac{DC}{BD}\)(Định lí Ta lét)

⇒\(\dfrac{DC}{BD}=2\)

hay DC=2BD

Ta có: BD+DC=BC(D nằm giữa B và C)

⇔2BD+BD=BC

⇔3BD=BC

hay \(BD=\dfrac{1}{3}BC\)(đpcm)

^{_{Từ điểm C kẻ đường trung tuyến CE của tam giác ABC}}

^{_{Ta có GD sog sog AB (gt).}}

 ^{_{Suy ra : GD sog sog BE ( E thuộc AB)}}

^{_{Xét Tam giác ABC: G là trọng tâm (gt)}}

 ^{_{Suy ra: GE/CE = 1/3 (Tc trọng tâm trong tgiác)}}

^{_{Xét tam giác BCE có: GD sog sog BE (cmt)}}

 ^{_{Suy ra: BD/BC = GE/CE   (định lý Talet)}}

^{_{mà:  GE/CE = 1/3 (cmt)}}

 ^{_{Suy ra: BD = 1/3 BC      (đpcm)}}

A B C G D E M

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta có \(AG=\frac{2}{3}AM\)

Do GD song song AB nên \(\frac{BD}{BM}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}\)

Tương tự ta có \(\frac{EC}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{EC}{BC}.\)

b. Từ tỉ số \(\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3};\frac{EC}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}\)

Vậy \(BD=DE=EC.\)

Chúc em học tốt :)

gfvfvfvfvfvfvfv555

a.

Theo định lý Thales,ta có:

 \(OE//BC\) nên \(\frac{AE}{EB}=\frac{AO}{OC}\left(1\right)\)

\(OF//CD\) nên \(\frac{AF}{FD}=\frac{AO}{OC}\left(2\right)\)

Từ (1);(2) suy ra \(\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FD}\Rightarrow FE//BD\) theo ĐL Thales đảo.

b.

Theo định lý Thales,ta có:

\(OG//AB\) nên \(\frac{AO}{OC}=\frac{BG}{GC}\left(3\right)\)

\(OH//AD\) nên \(\frac{AO}{OC}=\frac{DH}{HC}\left(4\right)\)

Từ (3);(4) suy ra:\(\frac{BG}{GC}=\frac{DH}{HC}\Rightarrow BG\cdot CH=CG\cdot DH\left(đpcm\right)\)

a) +)Xét tg ABD có: CE //BD(gt)

    Áp dụng đl Ta-let, ta có:

               AB/AC=AD/AE

   +) Xét tam giác ADC có: FE // CD(gt)

   Áp dụng đl Ta-let,ta có:

             AC/AF=AD/AE

b)Từ câu a), ta có:

             AB/AC=AC/AF

     ->AC.AC=AB.AF

      ->AC^2=AB.AF

a: Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng và \(AG=\frac23AM\)

=>\(AG=2GM\)

Xét ΔMAB có GD//AB

nên \(\frac{MD}{MB}=\frac{MG}{MA}=\frac13\)

=>\(1-\frac{MD}{MB}=1-\frac13\)

=>\(\frac{BD}{BM}=\frac23\)

b: Xét ΔMAC có GE//AC

nên \(\frac{ME}{MC}=\frac{MG}{MA}\)

=>\(\frac{ME}{MC}=\frac13\)

=>\(1-\frac{ME}{MC}=1-\frac13\)

=>\(\frac{CE}{CM}=\frac23\)

=>\(CE=\frac23CM=\frac23\cdot\frac12\cdot BC=\frac13BC\)

\(\frac{BD}{BM}=\frac23\)

=>\(BD=\frac23BM=\frac23\cdot\frac12\cdot BC=\frac13BC\)

BD+DE+EC=BC

=>\(DE=BC-\frac13BC-\frac13BC=\frac13BC\)

Do đó: BD=DE=EC