Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(y=\frac13\left(m-1\right)\cdot x^3-\left(m-1\right)\cdot x^2+\left(m-3\right)x+2\)
=>y'=\(\frac13\left(m-1\right)\cdot3x^2-\left(m-1\right)\cdot2x+\left(m-3\right)\)
\(=\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3\)
Đặt y'=0
=>\(\left(m-1\right)\cdot x^2-\left(2m-2\right)\cdot x+m-3=0\) (1)
TH1: m=1
(1) sẽ trở thành:
\(\left(1-1\right)\cdot x^2-\left(2\cdot1-2\right)x+1-3=0\)
=>-2=0(vô lý)
=>Phương trình vô nghiệm
TH2: m<>1
\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot\left(m-1\right)\left(m-3\right)\)
\(=4m^2-8m+4-4\left(m^2-4m+3\right)=4m^2-8m+4-4m^2+16m-12=8m-8\)
Theo Vi-et, ta có: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2\left(m-1\right)}{m-1}=2;x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-3}{m-1}\)
Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì 8m-8>0
=>m>1
Để (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì \(\begin{cases}\Delta>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}\)
=>8m-8>0 và (m-3)/(m-1)>0
=>m>1 và (m>3 hoặc m<1)
=>m>3
b: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì (m-1)(m-3)<0
=>1<m<3
c: \(\left|x_1-x_2\right|=\sqrt2\)
=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=2\)
=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=2\)
=>\(2^2-4\cdot\frac{m-3}{m-1}=2\)
=>\(4\cdot\frac{m-3}{m-1}=4-2=2\)
=>4(m-3)=2(m-1)
=>2(m-3)=m-1
=>2m-6=m-1
=>2m-m=-1+6
=>m=5(nhận)
d: Để y'>=0 với mọi x thì Δ<=0 và a>0
=>8m-8<=0 và m-1>0
=>8m<=8 và m>1
=>m∈∅
e: Để y'<=0 với mọi x thì Δ<=0 và a<0
=>8m-8<=0 và m-1<0
=>m<1
\(f\left(x+3\right)=g\left(x\right)+x^2-10x+5\)
\(\Rightarrow f'\left(x+3\right)=g'\left(x\right)+2x-10\)
Thế \(x=1\) ta được:
\(f'\left(4\right)=g'\left(1\right)-8\)
\(\Rightarrow g'\left(1\right)=f'\left(4\right)+8=13\)
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x+\dfrac{1}{3}\right)-f\left(x\right)\)
Hiển nhiên \(g\left(x\right)\) cũng liên tục trên R
Ta có: \(g\left(0\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)-f\left(0\right)\)
\(g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)\)
\(g\left(\dfrac{1}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)-f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(g\left(0\right)+g\left(\dfrac{1}{3}\right)+g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(0\right)=0\)
- Nếu tồn tại 1 trong 3 giá trị \(g\left(0\right);g\left(\dfrac{1}{3}\right);g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) bằng 0 thì hiển nhiên pt có nghiệm
- Nếu cả 3 giá trị đều khác 0 \(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 2 trong 3 giá trị \(g\left(0\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) trái dấu
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại ít nhất 1 trong 3 tích số: \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) âm
\(\Rightarrow\) Pt \(g\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[0;1\right]\)
Lời giải:
Từ $f(1+3x)=2x-f(1-2x)$ thay $x=0$ suy ra $f(1)=1$
$f(1+3x)=2x-f(1-2x)$
$\Rightarrow f'(1+3x)=(2x)'-f'(1-2x)$
$\Leftrightarrow 3f'(1+3x)=2+2f'(1-2x)$. Thay $x=0$ suy ra $f'(1)=2$
PTTT của $f(x)$ tại điểm $x=1$ là:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$
Bài 1:
Cho $y=0$ thì: $f(x^3)=xf(x^2)$
Tương tự khi cho $x=0$
$\Rightarrow f(x^3-y^3)=xf(x^2)-yf(y^2)=f(x^3)-f(y^3)$
$\Rightarrow f(x-y)=f(x)-f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Cho $x=0$ thì $f(-y)=0-f(y)=-f(y)$
Cho $y\to -y$ thì: $f(x+y)=f(x)-f(-y)=f(x)--f(y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$
Đến đây ta có:
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)$
$=2f(x^3)+6f(x)=2xf(x^2)+6f(x)$
$f[(x+1)^3+(x-1)^3]=f[(x+1)^3-(1-x)^3]$
$=(x+1)f((x+1)^2)-(1-x)f((1-x)^2)$
$=(x+1)f(x^2+2x+1)+(x-1)f(x^2-2x+1)$
$=(x+1)[f(x^2)+2f(x)+f(1)]+(x-1)[f(x^2)-2f(x)+f(1)]$
$=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
Do đó:
$2xf(x^2)+6f(x)=2xf(x^2)+4f(x)+2xf(1)$
$2f(x)=2xf(1)$
$f(x)=xf(1)=ax$ với $a=f(1)$
\(f\left(x^5+y^5+y\right)=x^3f\left(x^2\right)+y^3f\left(y^2\right)+f\left(y\right)\)
Sửa lại đề câu 2 !!
Giả sử \(f\left(x\right)\) có bậc k \(\Rightarrow f'\left(x\right)\) có bậc \(k-1\) và \(f''\left(x\right)\) có bậc \(k-2\)
\(\Rightarrow f''\left(x\right)+3x^2-5\) có bậc lớn nhất bằng \(max\left\{k-2;2\right\}\)
\(\Rightarrow k-1=max\left\{k-2;2\right\}\Rightarrow k-1=2\) (do \(k-1\ne k-2\) với mọi k)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) là đa thức bậc 3 có dạng: \(y=ax^3+bx^2+cx-5\) với \(a\ne0\)
\(3ax^2+2bx+c=6ax+2b+3x^2-5\)
\(\Leftrightarrow3ax^2+2bx+c=3x^2+6ax+2b-5\)
Đồng nhất 2 vế: \(\left\{{}\begin{matrix}3a=3\\2b=6a\\c=2b-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=3\\c=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2+x-5\)
Đặt \(sin^2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)
\(f\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^3+3t^2+t-5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t^2+4t+5\right)=0\Rightarrow t=1\)
\(\Rightarrow sin^2x=1\Leftrightarrow cosx=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
\(\Rightarrow\frac{\pi}{2}+k\pi\le2020\Rightarrow k\le\frac{4040-\pi}{2\pi}\)
\(\Rightarrow k_{max}=642\Rightarrow x_{max}=\frac{\pi}{2}+642\pi\)