A B C D E 6 H

a) BC = \(\sqrt{AB^2+AC^2}\)= \(\sqrt{6^2+8^2}\)= \(\sqrt{100}\)= 10 (theo định lí Pythagoras)

\(\Delta\)ABC có BD là phân giác => \(\frac{AD}{AB}\)= \(\frac{CD}{BC}\)= \(\frac{AD}{DC}\)= \(\frac{AB}{BC}\)= \(\frac{6}{10}\)= \(\frac{3}{5}\).

b) Ta có : \(\widehat{ABE}\)= \(\widehat{EBC}\)(BD là phân giác)

=> \(\Delta ABD\)~ \(\Delta EBC\)(gg)

=> \(\frac{BD}{BC}\)= \(\frac{AD}{EC}\)<=>  BD.EC = AD.BC (đpcm).

c) Ta có : \(\Delta CHE\)~ \(\Delta CEB\)( 2 tam giác vuông có chung góc C )

=> \(\frac{CH}{CE}\)= \(\frac{CE}{CB}\)<=>  CH.CB = CE²                                                     (1)

                \(\Delta CDE\)~ \(\Delta BDA\)(gg  (2 góc đối đỉnh))

                 \(\Delta BDA~\Delta BCE\) (câu b))

=> \(\Delta CDE~\Delta BCE\)

=> \(\frac{CE}{BE}\)= \(\frac{DE}{CE}\)<=> BE.DE = CE²                                                        (2)

Từ (1) và (2) => CH.CB = ED.EB (đpcm).

a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(\frac{BA}{BH}=\frac{BC}{BA}\) (3)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\)

b: BH+CH=BC

=>BC=4+9=13(cm)

\(AB^2=BH\cdot BC\)

=>\(AB^2=4\cdot13=52\)

=>\(AB=2\sqrt{13}\) (cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=13^2-52=117\)

=>\(AC=3\sqrt{13}\) (cm)

c: Xét ΔBHE vuông tại H và ΔBAD vuông tại A có

\(\hat{HBE}=\hat{ABD}\) (BD là phân giác của góc ABC)

Do đó: ΔBHE~ΔBAD

=>\(\frac{S_{BHE}}{S_{BAD}}=\left(\frac{BH}{BA}\right)^2=\left(\frac{4}{2\sqrt{13}}\right)^2=\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2=\frac{4}{13}\)

Xét ΔBAH có BE là phân giác

nên \(\frac{EA}{EH}=\frac{BA}{BH}\left(1\right)\)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\frac{BC}{BA}=\frac{DC}{DA}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EA}{EH}=\frac{DC}{DA}\)

  A B C H D E

a) Xét tam giác HBA và tam giác ABC có:

Góc B chung

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{CB}\Rightarrow AB^2=BH.BC\)

b) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông, ta có: 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=20\left(cm\right)\)

Áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác ta có:

\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)

mà AD + DC = AC = 16 cm nên \(AD=6cm.\)

c) Xét tam giác BEA và tam giác BDC có:

\(\widehat{ABE}=\widehat{CBD}\)  (BD là tia phân giác)

\(\widehat{BAE}=\widehat{BCD}\)  (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\)  )

\(\Rightarrow\Delta BEA\sim\Delta BDC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BE}{BD}=\frac{AB}{CB}\)

Lại có \(\frac{AB}{CB}=\frac{AD}{DC}\Rightarrow\frac{BE}{BD}=\frac{AD}{DC}\Rightarrow\frac{DB}{EB}=\frac{DC}{DA}\)  

Bài giải : 

a) Xét tam giác HBA và tam giác ABC có:

Góc B chung

^BHA=^BAC(=90o)

⇒ΔHBA∼ΔABC(g−g)

⇒HBAB =ABCB ⇒AB2=BH.BC

b) Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông, ta có: 

BC=√AB2+AC2=20(cm)

Áp dụng tính chất tia phân giác trong tam giác ta có:

ADDC =ABBC =1220 =35 

mà AD + DC = AC = 16 cm nên AD=6cm.

c) Xét tam giác BEA và tam giác BDC có:

^ABE=^CBD  (BD là tia phân giác)

^BAE=^BCD  (Cùng phụ với góc ^ABC  )

⇒ΔBEA∼ΔBDC(g−g)

⇒BEBD =ABCB 

Lại có ABCB =ADDC ⇒BEBD =ADDC ⇒DBEB =DCDA   

1b) Tam giác AMN vuông tại M có góc A = 60⁰ => góc N = 30⁰

Tam giác vuông AMD và tam giác vuông NMA có góc A = góc N(cùng = 30⁰) nên chúng đồng dạng

=> S_AMD/S_NMA = (AM/MN)² = AM²/MN² (1)

Gọi I là trung điểm của AN => MI là trung tuyến tg AMN vuông tại M => MI = IA = 1/2AN => tg AMI cân tại I mà góc A = 60⁰

=> tg AMI đều => AM = AI = 1/2AN

Theo Pytago ta có AN² = AM² + MN² => (2AM)² - AM² =MN² => 3AM² = MN² => AM²/MN² = 1/3 (2)

Từ (1) và (2) bn suy ra nhé