IL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LS
0
R
0
29 tháng 1 2020
Xl bài mk sai cái chỗ áp dụng
Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{n+1}{n}=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n^2+n}=\frac{n^2+2.n.1+1^2}{n^2+n}=\frac{n^2+2n+1}{n^2+n}\\\frac{n+2}{n+1}=\frac{n\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}=\frac{n^2+2n}{n^2+n}\end{matrix}\right.\)
Mà \(n^2+2n+1>n^2+n\forall\)n dương
\(\Rightarrow\frac{n+1}{n}>\frac{n+2}{n+1}\)
P/ s Đây là ý kiến riêng thôi nha
Nếu còn j thắc mắc thì ib cho mình nhé
28 tháng 1 2020
Ta có
A\(^2\) = \(\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right)^2=\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right).\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.....\frac{200}{199}\right)\)
\(\Rightarrow A^2 >\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}...\frac{200}{199}\right).\left(\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...\frac{201}{200}\right)\)
( Áp dụng tính chất \(\frac{n+1}{n}>\frac{n+3}{n+1}\forall\)n dương )
\(\Rightarrow A^2>201>196=14^2\)
\(\Rightarrow A>14\left(2\right)\)
Lại có :
\(A^2=\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}....\frac{200}{199}\right).\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}....\frac{200}{199}\right)\)
\(\Rightarrow A^2< 2.\left(\frac{2}{1}.\frac{4}{3}...\frac{200}{199}\right).\left(\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...\frac{199}{198}\right)\)
\(\Rightarrow A^2< 2.200=400=20^2\)
\(\Rightarrow A< 20\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 14 < A < 20
Bài mình còn sai sót đôi chỗ ko biết bạn có hiểu ko ạ
22 tháng 10 2019
https://lazi.vn/edu/exercise/289338/cho-b-2-1-x-4-3-x-6-5-x-8-x-x-200-199-chung-minh-rang-14-lt-b-lt-20
Em xem tại link này nhé (Chị gửi cho)
Học tốt
!!!!!!!!!
4 tháng 9 2016
Ta luôn chứng minh được: Nếu \(\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+1}{b+1}\)và \(\frac{a}{b}< \frac{a-1}{b-1}\)
Áp dụng điều trên ta có:
\(S=\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.\frac{6}{5}...\frac{200}{199}\)
=> \(S>\frac{3}{2}.\frac{5}{4}.\frac{7}{6}...\frac{201}{200}\)
=> \(S^2>\frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}.\frac{6}{5}.\frac{7}{6}...\frac{200}{199}.\frac{201}{200}\)
=> S2 > 201 > 200 (1)
\(S=\frac{2}{1}.\frac{4}{3}.\frac{6}{5}...\frac{200}{199}\)
=> \(S< \frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\frac{5}{4}...\frac{199}{198}\)
=> \(S^2< \frac{2}{1}.\frac{2}{1}.\frac{3}{2}.\frac{4}{3}.\frac{5}{4}.\frac{6}{5}...\frac{199}{198}.\frac{200}{199}\)
=> \(S^2< 400\)(2)
Từ (1) và (2) => 200 < S2 < 400 (đpcm)
NM
0
11 tháng 7
Chào bạn, mình sẽ giúp bạn giải bài toán này một cách ngắn gọn nhé.Đề bàiCho \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{199}{200}\). Chứng minh rằng \(A^2 < \frac{1}{101}\).Lời giảiĐặt \(B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{200}{201}\).
- So sánh từng thừa số:
Ta có nhận xét: Với mọi số nguyên dương \(n\), luôn có \(\frac{n}{n+1} < \frac{n+1}{n+2}\).
Áp dụng vào biểu thức \(A\) và \(B\):
Suy ra: \(A < B\) - \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
- ...
- \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
- Tính tích \(A \cdot B\):
\(A\cdot B=\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\dots \frac{199}{200}\right)\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\dots \frac{200}{201}\right)\)
Khi nhân lại, các số ở tử và mẫu sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
\(A\cdot B=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\dots 199\cdot 200}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\dots 200\cdot 201}=\frac{1}{201}\) - Chứng minh \(A^2 < \frac{1}{101}\):
Vì \(A > 0\) và \(A < B\), nên:
\(A\cdot A<A\cdot B\)
\(A^{2}<\frac{1}{201}\)Mà \(\frac{1}{201} < \frac{1}{101}\), nên ta có:
\(A^{2}<\frac{1}{101}\text{\ (Điu\ phi\ chng\ minh)}\)
11 tháng 7
Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức cho biểu thức \(S\):\(S=\frac{2}{1}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{8}{7}\cdots \frac{200}{199}\)Chứng minh rằng: \(201 < S^2 < 400\).1. Chứng minh \(S^2 < 400\)Ta có mỗi phân số trong tích \(S\) đều có dạng \(\frac{2n}{2n-1}\).
Dễ dàng thấy \(\frac{2n}{2n-1} < 2\) (với \(n \ge 1\)), nhưng cách này không giúp chặn được \(S^2 < 400\).Xét \(S\) gồm 100 phân số:
\(S=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{6}{5}\right)\dots \left(\frac{200}{199}\right)\)Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} < \frac{2n+1}{2n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Gọi \(A = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200}\).
Khi đó: \(S < A\).
\(\Rightarrow S^2 < S \cdot A = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{200}{199} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200} \right)\)
\(\Rightarrow S^2 < \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 200 \cdot 201}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 199 \cdot 200} = 201\)Vì \(S^2 < 201\) nên hiển nhiên \(S^2 < 400\).2. Chứng minh \(201 < S^2\)Ta sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} > \frac{2n+1}{2n}\) là sai, ta cần so sánh ngược lại.
Xét \(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{199}{200}\). Ta thấy \(S = \frac{1}{B}\).Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n-1}{2n} < \frac{2n}{2n+1}\) (vì \((2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1 < 4n^2\)).
Áp dụng cho từng thừa số của \(B\):
\(B<\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \frac{200}{201}\)
\(\Rightarrow B^2 < B \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{199}{200} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right)\)
\(\Rightarrow B^2 < \frac{1}{201}\)Vì \(S = \frac{1}{B} \Rightarrow S^2 = \frac{1}{B^2}\).
Do \(B^2 < \frac{1}{201} \Rightarrow \frac{1}{B^2} > 201\).
Vậy \(S^2 > 201\).Kết luận: \(201 < S^2 < 400\) (đpcm).
Dễ dàng thấy \(\frac{2n}{2n-1} < 2\) (với \(n \ge 1\)), nhưng cách này không giúp chặn được \(S^2 < 400\).Xét \(S\) gồm 100 phân số:
\(S=\left(\frac{2}{1}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{6}{5}\right)\dots \left(\frac{200}{199}\right)\)Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} < \frac{2n+1}{2n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Gọi \(A = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200}\).
Khi đó: \(S < A\).
\(\Rightarrow S^2 < S \cdot A = \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdots \frac{200}{199} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdots \frac{201}{200} \right)\)
\(\Rightarrow S^2 < \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots 200 \cdot 201}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdots 199 \cdot 200} = 201\)Vì \(S^2 < 201\) nên hiển nhiên \(S^2 < 400\).2. Chứng minh \(201 < S^2\)Ta sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{2n}{2n-1} > \frac{2n+1}{2n}\) là sai, ta cần so sánh ngược lại.
Xét \(B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{199}{200}\). Ta thấy \(S = \frac{1}{B}\).Ta có bất đẳng thức: \(\frac{2n-1}{2n} < \frac{2n}{2n+1}\) (vì \((2n-1)(2n+1) = 4n^2 - 1 < 4n^2\)).
Áp dụng cho từng thừa số của \(B\):
- \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)
- ...
- \(\frac{199}{200} < \frac{200}{201}\)
\(B<\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \frac{200}{201}\)
\(\Rightarrow B^2 < B \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{199}{200} \right) \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{200}{201} \right)\)
\(\Rightarrow B^2 < \frac{1}{201}\)Vì \(S = \frac{1}{B} \Rightarrow S^2 = \frac{1}{B^2}\).
Do \(B^2 < \frac{1}{201} \Rightarrow \frac{1}{B^2} > 201\).
Vậy \(S^2 > 201\).Kết luận: \(201 < S^2 < 400\) (đpcm).