a) Trong (O) có: KB,KM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K.

\(\Rightarrow KB=KM\left(1\right)\). 

Trong (I) có: KC,KM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại K.

\(\Rightarrow KC=KM\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow KB=KC\)

△BME nội tiếp đường tròn (O) đường kính BE.

⇒△BME vuông tại MM.

\(\Rightarrow\widehat{BME}=90^0\)

b) Ta có: K thuộc đường trung trực của BM (\(KB=KM\))

O thuộc đường trung trực của BM \(\left(OB=OM\right)\)

⇒OK là đường trung trực của BM mà OK cắt BM tại N.

⇒N là trung điểm BM.

- Ta có: K thuộc đường trung trực của CM (\(KC=KM\))

I thuộc đường trung trực của CM \(\left(IC=IM\right)\)

⇒IK là đường trung trực của CM mà IK cắt CM tại P.

⇒P là trung điểm IK và \(CM\perp IK\) tại P.

Xét △BCM có: N là trung điểm BM, P là trung điểm CM.

⇒NP là đường trung bình của △BCM.

⇒NP//CM.

c) *Hạ \(IH\perp OB\) tại H.

Xét tứ giác BCIH có: \(\widehat{HBC}=\widehat{BCI}=\widehat{BHI}=90^0\)

⇒BCIH là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow BC=IH;IC=BH=r\)

Xét △ICK vuông tại C có IP là đường cao:

\(\Rightarrow IK.IP=IC^2=r^2\)

Xét △OHI vuông tại H có:

\(HI^2+OH^2=OI^2\)

\(\Rightarrow HI=\sqrt{OI^2-OH^2}=\sqrt{\left(r+R\right)^2-\left(r-R\right)^2}=\sqrt{4Rr}=2\sqrt{Rr}\)

Mà \(BC=HI\Rightarrow BC=2\sqrt{Rr}\left(1'\right)\)

Ta có: \(2\sqrt{IM.IO-IK.IP}=2\sqrt{r\left(r+R\right)-r^2}=2\sqrt{Rr}\left(2'\right)\)

\(\left(1'\right),\left(2'\right)\Rightarrow BC=2\sqrt{IM.IO-IK.IP}\)

a: Xét (O) có

IA,IB là các tiếp tuyến

DO đó: IA=IB và IO là phân giác của góc BIA và OI là phân giác của góc BOA

Xét (O') có

IA,IC là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IC và IO' là phân giác của góc AIC; OI' là phân giác của góc AO'C

IA=IB

IC=IA

Do đó: IB=IC

=>I là trung điểm của BC

=>IA=BC/2

Xét ΔABC có

AI là đường trung tuyến

AI=BC/2

Do đó: ΔABC vuông tại A

b: ΔOAB cân tại O

mà OI là đường phân giác

nên OI⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

ΔO'AC cân tại O'

mà O'I là đường phân giác

nên O'I⊥AC tại K và K là trung điểm của AC

Xét tứ giác AHIK có \(\hat{AHI}=\hat{AKI}=\hat{HAK}=90^0\)

nên AHIK là hình chữ nhật

c: Xét ΔIAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(IH\cdot IO=IA^2\)

Xét ΔIAO' vuông tại A' có AK là đường cao

nên \(IK\cdot IO^{\prime}=IA^2\)

Xét ΔIO'O vuông tại I có IA là đường cao

nên \(AO\cdot AO^{\prime}=IA^2\)

=>\(2\cdot IA^2=R\cdot R^{\prime}\cdot2\)

=>\(IH\cdot IO+IK\cdot IO^{\prime}=2\cdot R\cdot R^{\prime}\)

a: Xét (O) có

MB,MA là các tiếp tuyến

Do đó: MB=MA và MO là phân giác của góc BMA

Xét (O') có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC và MO' là phân giác của góc AMC

Ta có: MB=MA

MA=MC

Do đó: MB=MC

=>M là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

\(AM=\frac{BC}{2}\)

Do đó: ΔABC vuông tại A

b: Ta có: MB=MA

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OB=OA

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB tại D và D là trung điểm của AB

Ta có: MA=MC

=>M nằm trên đường trung trực của AC(3)

Ta có: O'A=O'C

=>O' nằm trên đường trung trực của AC(4)

Từ (3),(4) suy ra MO' là đường trung trực của AC
=>MO'⊥AC tại E và E là trung điểm của AC

Xét tứ giác MDAE có \(\hat{MDA}=\hat{MEA}=\hat{DAE}=90^0\)

nên MDAE là hình chữ nhật

=>MA=DE
c: Xét ΔMAO vuông tại A có AD là đường cao

nên \(MD\cdot MO=MA^2\left(5\right)\)

Xét ΔMAO' vuông tại A có AE là đường cao

nên \(ME\cdot MO^{\prime}=MA^2\left(6\right)\)

Từ (5),(6) suy ra \(MD\cdot MO=ME\cdot MO^{\prime}\)