a, Xét đg tròn (O) có: AEB^ là góc nội tiếp chăn nửa đg tròn => AEBˆ=90⁰

Xét ΔKIBΔKIB có: KE⊥BI tại E (AEB^=90⁰)

BH⊥IK tại H (gt)

Mà KE cắt BH tại A => A là trực tâm của ΔKIB

=> IA⊥KB

b, Xét ΔKEIvà ΔBHI có:

BHIˆ=KEIˆ(=90⁰)

Iˆ là góc chung

=> ΔKEI ~ ΔBHI(g.g)

=> NKEˆ=ABEˆ

Xét đg tròn (O) có: ABEˆ=ACEˆ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

=> NKEˆ=ACEˆ

Xét tứ giác KCEN có: NKEˆ=ACEˆ(cmt)

=> KCEN là tgnt

c, Xét đg tròn (O), tiếp tuyến NE có: NEKˆ=ACEˆ(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

Mà ACEˆ=NKEˆ(cmt)

=> NEKˆ=NKEˆ

=> ΔNEK cân tại N => NE=NK

Xét ΔKEIvuông tại E (KEIˆ=90⁰) có:

NKEˆ+NIEˆ=90⁰

Mà NEKˆ+NEIˆ=90⁰

=> NIEˆ=NEIˆ

=> ΔNEI cân tại N => NE=NI

Mà NE=NK (cmt)

=> NI=NK. Mà N nằm giữa I và K

=> N là trung điểm của IK

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

H đối xứng I qua AB

=>AB là đường trung trực của HI

=>AH=AI và BH=BI

Xét ΔAHB và ΔAIB có

AH=AI

BH=BI

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔAIB

=>\(\hat{AHB}=\hat{AIB}\)

=>\(\hat{AIB}=90^0\)

ΔAHB=ΔAIB

=>\(\hat{HAB}=\hat{IAB}\)

=>AB là phân giác của góc HAI

=>\(\hat{HAI}=2\cdot\hat{BAH}\)

Xét ΔAHC và ΔAKC có

AH=AK

CH=CK

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{HAC}=\hat{KAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAK

=>\(\hat{HAK}=2\cdot\hat{HAC}\)

ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{AHC}=\hat{AKC}\)

=>\(\hat{AKC}=90^0\)

=>CK⊥KA

\(\hat{IAK}=\hat{IAH}+\hat{KAH}\)

\(=2\left(\hat{BAH}+\hat{CAH}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>I,A,K thẳng hàng

mà AI=AK(=AH)

nên A là trung điểm của IK

Xét hình thang BIKC có

O,A lần lượt là trung điểm của BC,IK

=>OA là đường trung bình của hình thang BIKC

=>OA//IB//KC

mà IB⊥IK

nên OA⊥IK

=>IK là tiếp tuyến tại A của (O)

a) Ta có 

C A B ⏜ = 90 0 O H C ⏜ = 90 0 ⇒ C A B ⏜ + O H C ⏜ = 180 0                            

Vậy tứ giác AOHC nội tiếp.                                                   

b) Ta có  C A D ⏜ = A E C ⏜ ,   A C E ⏜  chung suy ra  Δ A C D ~ Δ E C A  (g.g)

⇒ C A C E = A D A E ⇒ A C . A E = A D . C E

c) Từ E vẽ đường thẳng song song với MN cắt cạnh AB tại I và cắt cạnh BD tại F ⇒ H E I ⏜ = H C O ⏜ .

Vì tứ giác AOHC nội tiếp  ⇒ H A O ⏜ = H C O ⏜ = H E I ⏜ .

Suy ra tứ giác AHIE nội tiếp  ⇒ I H E ⏜ = I A E ⏜ = B D E ⏜ ⇒ H I / / B D .

Mà H là trung điểm của DE=> I là trung điểm của EF. Có EF//MN và IE= IF

=> O là trung điểm của đoạn thẳng MN.

Suy ra tứ giác AMBN là hình bình hành => AM//BN.

Em tham khảo tại link dưới đây nhé.

Câu hỏi của My Trấn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Với câu c, khi đã có IK // AD thì vận dụng Ta let ta có ngay \(\frac{IC}{AD}=\frac{IK}{AD}\Rightarrow IC=IK\) 

What cái gì vậy tui đăng câu hỏi cơ mà

a) Tứ giác ACEH có

ˆACE=ˆEHA=900ACE^=EHA^=900(cùng nhìn AE)

=> tứ giác ACHE nội tiếp 

b) tứ giác ACHE nội tiếp 

=> ˆEAH=ˆHCEEAH^=HCE^(cùng chắn EH)

lại có ˆADF=ˆACFADF^=ACF^(cùng chắn AF)

mà ˆACF+ˆHCE=900ACF^+HCE^=900do ˆACE=900ACE^=900

=>ˆEAH+ˆADF=900EAH^+ADF^=900

=> DF⊥ABDF⊥AB

mà EH⊥ABEH⊥AB

=> DF//EHDF//EH

c)các bước chứng minh nè :

cm HOD=DCH (2 góc cùng nhìn DH)

thì => COHD nọi tiếp đường tròn thì đường tròn sẽ đi qau C H O D