a, Vì OA=OB=OC => ∆ABC vuông tại A

b, HS tự chứng minh

Hình bạn tự vẽ nha.

a, \(\Delta ABC\)có: \(OA=OB=OC=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại A

b, \(\left(O;R\right)\)có: \(AD\perp BC=\left\{H\right\}\Rightarrow\)H là trung điểm của AD (liên hệ giữa đường kính và dây)

\(\Delta ACD\)có: CH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến \(\Rightarrow\Delta ACD\)cân tại C \(\Rightarrow AC=CD\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta ABD\)cân tại B có BC là đường cao \(\Rightarrow\)BC là phân giác của \(\widehat{ABD}\)

c, Chứng minh tương tự câu a ta có: \(\Delta BDC\)vuông tại D \(\Rightarrow\widehat{BDA}+\widehat{ADC}=90^o\)(2 góc nhọn phụ nhau) (1)

\(\Delta ABH\)có: \(\widehat{AHB}=90^o\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{HAB}=90^o\)( 2 góc nhọn phụ nhau)

                                                  mà \(\widehat{DAB}=\widehat{BDA}\)(\(\Delta ABD\)cân tại B)

\(\Rightarrow\widehat{ABH}+\widehat{BDA}=90^o\)(2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\Leftrightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥BE tại C

Xét tứ giác EHAC có \(\hat{EHA}+\hat{ECA}=90^0+90^0=180^0\)

nên EHAC là tứ giác nội tiếp

=>E,H,A,C cùng thuộc một đường tròn

b: ADBC nội tiếp

=>\(\hat{CAD}+\hat{CBD}=180^0\)

mà \(\hat{CAD}+\hat{EAC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{EAC}=\hat{EBD}\)

Xét ΔEAC và ΔEBD có

\(\hat{EAC}=\hat{EBD}\)

góc AEC chung

Do đó: ΔEAC~ΔEBD

=>\(\frac{EA}{EB}=\frac{EC}{ED}\)

=>\(EA\cdot ED=EB\cdot EC\)

a: Xét tứ giác AIMD có \(\hat{AID}=\hat{AMD}=90^0\)

nên AIMD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD

=>A,I,M,D cùng thuộc đường tròn đường kính AD

Tâm là trung điểm của AD

b: Xét ΔABD có

AM,DI là các đường cao

AM cắt DI tại N

Do đó: N là trực tâm của ΔABD

=>BN⊥AD

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại A

=>AC⊥ AD

mà BN⊥AD

nên BN//AC