Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B O M N K C H I D P
Gọi KC cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại I, BK cắt AC tại D. Kẻ đường kính IP của đường tròn (O).
Ta thấy ^IKP chắn nửa đường tròn (O) nên KP vuông góc KI. Mà KN vuông góc KI nên K,N,P thẳng hàng
Dễ dàng chứng minh \(\Delta\)IMO = \(\Delta\)PNO (c.g.c) => ^OIM = ^OPN => IM // PN hay IM // KN
Do KN vuông góc CK nên MI cũng vuông góc CK => ^MIC = ^MAC = 900 => Tứ giác ACIM nội tiếp
Suy ra ^AMC = ^AIC = ^ABK => MC // BK. Khi đó, \(\Delta\)ADB có M là trung điểm AB, MC // BD (C thuộc AD)
=> C là trung điểm AD. Nếu ta gọi BC cắt KH tại S thì \(\frac{HS}{AC}=\frac{KS}{CD}\left(=\frac{BS}{BC}\right)\)(Hệ quả ĐL Thales)
Vậy thì S là trung điểm của KH. Nói cách khác, BC chia đôi KH (tại S) (đpcm).
a: Xét (O') có
ΔIEB nội tiếp
EB là đường kính
Do đó: ΔIEB vuông tại I
=>EI⊥BC tại I
ΔOCD cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của CD
Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
=>CA⊥CB
mà EI⊥CB
nên EI//CA
Xét tứ giác ACED có
H là trung điểm chung của AE và CD
=>ACED là hình bình hành
=>AC//ED
mà EI//CA
và EI,ED có điểm chung là E
nen D,E,I thẳng hàng
b: Xét tứ giác CHEI có \(\hat{CHE}+\hat{CIE}=90^0+90^0=180^0\)
nên CHEI là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{HIE}=\hat{HCE}=\hat{HDE}\)
ΔO'IE có O'I=O'E
nên ΔO'IE cân tại O'
=>\(\hat{O^{\prime}IE}=\hat{O^{\prime}EI}\)
mà \(\hat{O^{\prime}EI}=\hat{HED}\) (hai góc đối đỉnh)
nên \(\hat{O^{\prime}IE}=\hat{HED}\)
\(\hat{O^{\prime}IH}=\hat{O^{\prime}IE}+\hat{HIE}\)
\(=\hat{HDE}+\hat{HED}=90^0\)
=>HI là tiếp tuyến tại I của (O')
Câu 1: Nối OI ta có
+ Xét tam giác OMN có
OM=ON (bán kính đường tròn) => tam giác OMN cân (tam giác có hai cạnh bên bằng nhau là t/g cân)
MI=NI (đề bài) => OI là trung tuyến thuộc cạnh MN
=> OI vuông góc MN (trong tam giác cân trung tuyến thuộc cạnh đáy đồng thời là đường cao của tam giác cân)
+ Ta có
AA' vuông góc MN
OI vuông góc MN (cmt)
=> OI//AA'
+ Xét tam giác ABD có
OA=OB (bán kính đường tròn)
OI//AD (chứng minh trên OI//AA')
=> BI=DI (đường thẳng // cạnh đáy và đi qua trung điểm của 1 cạnh bên thì cũng đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại)
Mà MI=NI
=> DMNB là hbh (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)
Câu 2:
+ Xét tam giác OBD có
HO=HB (đề bài)
Bi=DI (c/m trên)
=> HI là đường trung bình của tam giác OBD (đường thẳng đi qua trung điểm hai cạn bên 1 t/g là đường trung bình)
=> HI//OD
Mà HI vuông góc AA'
=> OD vuông góc AA'
=> AD=A'D (Bán kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung tại điểm cắt nhau)
a: Xét tứ giác AHMQ có \(\hat{AHM}+\hat{AQM}=90^0+90^0=180^0\)
nên AHMQ là tứ giác nội tiếp