Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC⊥CB tại C
Xét tứ giác IECB có \(\hat{EIB}+\hat{ECB}=90^0+90^0=180^0\)
nên IECB là tứ giác nội tiếp
2; ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc MON
=>sđ cung AM=sđ cung AN
Xét (O) có
\(\hat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
\(\hat{ACM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM
sđ cung AN=sđ cung AM
Do đó: \(\hat{AMN}=\hat{ACM}\)
Xét ΔAME và ΔACM có
\(\hat{AME}=\hat{ACM}\overline{}\)
góc MAE chung
Do đó: ΔAME~ΔACM
=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AE}{AM}\)
=>\(AM^2=AE\cdot AC\)
3: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔMAB vuông tại M
Xét ΔMAB vuông tại M có MI là đường cao
nên \(AI\cdot BI=MI^2\)
\(AE\cdot AC-AI\cdot BI=AM^2-MI^2=AI^2\)
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC⊥CB tại C
Xét tứ giác CEIB có \(\hat{ECB}+\hat{EIB}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEIB là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAIE vuông tại I và ΔACB vuông tại C có
\(\hat{IAE}\) chung
Do đó: ΔAIE~ΔACB
=>\(\frac{AI}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
=>\(AE\cdot AC=AI\cdot AB\left(1\right)\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
Xét ΔMAB vuông tại M có MI là đường cao
nên \(AI\cdot AB=AM^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AC=AM^2\)
1) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\)
\(\Rightarrow\angle ECB+\angle EIB=90+90=180\Rightarrow IECB\) nội tiếp
2)Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle AMB=90\)
Ta có: \(\angle AME=90-\angle MAB=\angle ABM=\angle ACM\) (ABCM nội tiếp)
Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta ACM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AME=\angle ACM\\\angle CAMchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AME\sim\Delta ACM\left(g-g\right)\)
3) Vì IECB nội tiếp \(\Rightarrow\angle IBK=\angle ECK\)
Xét \(\Delta EKC\) và \(\Delta IKB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle IKB=\angle EKC\\\angle IBK=\angle ECK\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta EKC\sim\Delta IKB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{EK}{IK}=\dfrac{EC}{IB}\Rightarrow EK.IB=EC.IK\)
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
Xét tứ giác ECBI có
góc ECB+góc EIB=180 đọ
nên ECBI là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAME và ΔACM có
góc AME=góc ACM
góc MAE chung
Do đó: ΔAME đồng dạng với ΔACM
=>AM/AC=AE/AM
=>AM^2=AC*AE
a: Sửa đề: AI=2/3AO
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
DO đó: ΔACB vuông tại C
=>AC⊥CB tại C
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
Xét tứ giác IECB có \(\hat{EIB}+\hat{ECB}=90^0+90^0=180^0\)
nên IECB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính EB
Tâm là trung điểm của EB
b: Xét ΔAIE vuông tại I và ΔACB vuông tại C có
\(\hat{IAE}\) chung
Do đó: ΔAIE~ΔACB
=>\(\frac{AI}{AC}=\frac{AE}{AB}\)
=>\(AI\cdot AB=AE\cdot AC\left(1\right)\)
XétΔMAB vuông tại M có MI là đường cao
nên \(AM^2=AI\cdot AB\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM^2=AE\cdot AC\)
=>\(\frac{AM}{AE}=\frac{AC}{AM}\)
Xét ΔAMC và ΔAEM có
\(\frac{AM}{AE}=\frac{AC}{AM}\)
góc MAC chung
Do đó: ΔAMC~ΔAEM
1. Theo giả thiết MN ⊥AB tại I => ∠EIB = 900; ∠ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ∠ACB = 900 hay ∠ECB = 900
=> ∠EIB + ∠ECB = 1800 mà đây là hai góc đối của tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp .
2. Theo giả thiết MN ⊥AB => A là trung điểm của cung MN => ∠AMN = ∠ACM ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ∠AME = ∠ACM. Lại thấy ∠CAM là góc chung của hai tam giác AME và AMC do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
3. Theo trên ΔAME ~ ΔACM => => AM2 = AE.AC
4. ∠AMB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ); MN ⊥AB tại I => ΔAMB vuông tại M có MI là đường cao => MI2 = AI.BI ( hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) .
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác AIM vuông tại I ta có AI2 = AM2 – MI2 => AI2 = AE.AC - AI.BI .
5. Theo trên ∠AMN = ∠ACM => AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔECM; Nối MB ta có ∠AMB = 900 , do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp ΔECM phải nằm trên BM. Ta thấy NO1 nhỏ nhất khi NO1 là khoảng cách từ N đến BM => NO1 ⊥BM.
Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔECM có bán kính là O1M. Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn tâm O1 bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM.
Lưu ý kí hiệu:∠ có nghĩa là góc.
~ là kín hiệu j ạ