Do sđ M B ⏜ = sđ M A ⏜ = sđ  N C ⏜

=>  N A S ^ = A N S ^

=> SA = SN => SM = SC

Xét (O) có

\(\hat{MBE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BE

\(\hat{BCE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\hat{MBE}=\hat{BCE}\)

Xét (O) có

\(\hat{EDC}\) là góc nội tiếp chắn cung EC

\(\hat{ACE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CE

Do đó: \(\hat{EDC}=\hat{ACE}\)

mà \(\hat{EDC}=\hat{EAM}\) (hai góc so le trong, BA//DC)

nên \(\hat{MAE}=\hat{MCA}\)

Xét ΔMBE và ΔMCB có

\(\hat{MBE}=\hat{MCB}\)

góc BME chung

Do đó: ΔMBE~ΔMCB

=>\(\frac{MB}{MC}=\frac{ME}{MB}\)

=>\(MB^2=ME\cdot MC\left(1\right)\)

Xét ΔMAE và ΔMCA có

\(\hat{MAE}=\hat{MCA}\)

góc AME chung

Do đó: ΔMAE~ΔMCA

=>\(\frac{MA}{MC}=\frac{ME}{MA}\)

=>\(MA^2=ME\cdot MC\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MA^2=MB^2\)

=>MA=MB

=>M là trung điểm của AB

1: K là điểm chính giữa của cung nhỏ AB

=>sđ cung KA=sđ cung KB

=>OK⊥AB tại I và I là trung điểm của AB

Xét tứ giác KIHB có \(\hat{KIB}=\hat{KHB}=90^0\)

nên KIHB là tứ giác nội tiếp

2: KBFA nội tiếp(Vì K,B,F,A cùng thuộc (O))

=>\(\hat{KBA}=\hat{KFA}\)

Xét (O) có

\(\hat{KBA}\) là góc nội tiếp chắn cung KA

\(\hat{KFB}\) là góc nội tiếp chắn cung KB

sđ cung KA=sđ cung KB

Do đó: \(\hat{KBA}=\hat{KFB}\)

Xét ΔKBE và ΔKFB có

\(\hat{KBE}=\hat{KFB}\)

góc BKE chung

Do đó: ΔKBE~ΔKFB

=>\(\frac{KB}{KF}=\frac{KE}{KB}\)

=>\(KB^2=KF\cdot KE\)

Ta có:

= (theo gt).

= ( vì MN // BC)

Suy ra = , do đó =

Vậy ∆SMC là tam giác cân, suy ra SM = SC

Chứng minh tương tự ta cũng có ∆SAN cân , SN = SA.