Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 4:
a:
Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
=>ΔCED vuông tại E
ΔOEF cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của EF
Xét tứ giác CEMF có
I là trung điểm chung của CM và EF
CM vuông góc EF
=>CEMF là hình thoi
=>CE//MF
=<MF vuông góc ED(1)
Xét (O') có
ΔMPD nội tiêp
MD là đường kính
=>ΔMPD vuông tại P
=>MP vuông góc ED(2)
Từ (1), (2) suy ra F,M,P thẳng hàng
b: góc IPO'=góc IPM+góc O'PM
=góc IEM+góc O'MP
=góc IEM+góc FMI=90 độ
=>IP là tiếp tuyến của (O')
a: ΔOBC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM\(\perp\)BC tại M
Xét tứ giác KAOM có
\(\widehat{OAK}+\widehat{OMK}=90^0+90^0=180^0\)
=>KAOM là tứ giác nội tiếp
=>K,A,O,M cùng thuộc một đường tròn
b: AH\(\perp\)BC
OM\(\perp\)BC
Do đó: AH//OM
Xét ΔNAH có
O là trung điểm của NA
OM//AH
Do đó: M là trung điểm của NH
Xét tứ giác BHCN có
M là trung điểm chung của BC và HN
=>BHCN là hình bình hành
c: Xét (O) có
ΔACN nội tiếp
AN là đường kính
Do đó: ΔACN vuông tại C
=>CN\(\perp\)CA
BHCN là hình bình hành
=>BH//CN
Ta có: BH//CN
CN\(\perp\)CA
Do đó: BH\(\perp\)AC
Xét ΔABC có
BH,AH là các đường cao
BH cắt AH tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
B C O A D d M K E N I H F P d'
1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 900
=> ^CNE = 1800 - ^CNB = 900. Xét tứ giác CDNE có:
^CDE = ^CNE = 900 => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).
2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 900
=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:
BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC
=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 900) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).
3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.
Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 900 => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)
Tương tự: ^NBK = ^NDK (2)
Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN
Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)
Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)
Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH
=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF
Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)
Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:
^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)
=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)
Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)
Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)
\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 900
=> ^DBF + ^DCH = 900 => CH vuông góc BF.
Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB
=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 900
=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)
=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP
Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 900 => ^DCP + ^DHP = 1800
=> ^HMP + ^DHP = 1800 hay ^HMP + ^KHP = 1800 => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn
=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.
Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB
=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)
=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP
Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP
=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)
I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d
OC vuông góc d => OC // IF (8)
Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))
=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)
=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)
Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.
giúp mình phần 4 với
Ai làm giúp với =((
a) ΔOBCΔOBC có OB=OC=ROB=OC=R nên ΔOBCΔOBC cân đỉnh OO,
có OMOM là đường trung tuyến nên OMOM cũng là đường cao
⇒OM⊥CB⇒OM⊥CB
⇒ˆOMB=90o⇒OMB^=90o
Tứ giác AOMKAOMK có ˆOMK+ˆOAK=90o+90o=180oOMK^+OAK^=90o+90o=180o
Do đó AOMKAOMK nội tiếp đường tròn đường kính (OK)(OK)
b) Xét ΔAHNΔAHN có:
OM∥AHOM∥AH (vì cùng ⊥BC⊥BC)
OO là trung điểm của ANAN
⇒OM⇒OM là đường trung bình ΔAHNΔAHN
⇒M⇒M là trung điểm HNHN
Tứ giác BHCNBHCN có hai đường chéo CBCB và HNHN cắt nhau tại MM là trung điểm của mỗi đường
⇒BHCN⇒BHCN là hình bình hành.
c) Ta có ΔACNΔACN nội tiếp đường tròn (O)(O) đường kính ANAN
nên ˆACN=90o⇒CN⊥ACACN^=90o⇒CN⊥AC
Tứ giác BHCNBHCN là hình bình hành
⇒BH∥CN⇒BH∥CN mà CN⊥ACCN⊥AC
⇒BH⊥AC⇒BH⊥AC
Lại có AH⊥BCAH⊥BC
ΔABCΔABC có BHBH và CHCH là 2 đường cao cắt nhau tại HH
nên HH là trực tâm ΔABCΔABC
d) MM là trung điểm cạnh BCBC
Lấy điểm O′O′ đối xứng với OO qua MM do B,CB,C cố định suy ra MM cố đinh suy ra O′O′ cố định
Ta có: OM∥AHOM∥AH (vì vùng ⊥BC⊥BC)
⇒OO′∥AH⇒OO′∥AH,
OMOM là đường trung bình ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′ΔAHN⇒OM=12AH⇒AH=2OM=OO′
Do đó AOO′HAOO′H là hình bình hành
⇒O′H=OA=R⇒O′H=OA=R không đổi
Dựng hình bình hành HO′KTHO′KT ta được KT∥O′HKT∥O′H và có KT=O′HKT=O′H nên TT cố định
TH=O′K=OKTH=O′K=OK
Vậy H∈(T;KO)