Giúp mình với, mình đang cần gấp. Please help me..

Plss help me..

O A B C D E I H K

Gọi BC giao OD và OE lần lượt tại H và K.

Vì \(OA=R\sqrt{2}=OB\sqrt{2}=OC\sqrt{2}\) nên tứ giác ABOC là hình vuông

Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{DOE}=45^0\), suy ra tứ giác DBOK nội tiếp 

Do đó \(\widehat{DKO}=180^0-\widehat{DBO}=90^0\) hay \(DK\perp OE\)

Tương tự \(EH\perp OD\). Suy ra \(\widehat{BDO}=\widehat{BKO}=\widehat{EDO}\) do DHKE nội tiếp

Suy ra DO là phân giác \(\widehat{BDE}\). Mà AO là phân giác \(\widehat{DAE}\) nên O là tâm bàng tiếp góc A của \(\Delta ADE\)

Do vậy \(DE+AD+AE=2AB=2R\)

Ta có \(2R=DE+AD+AE>DE+DE=2DE\Rightarrow DE< R\)

Lại có \(\frac{2}{3}R=\frac{DE+AD+AE}{3}< \frac{DE+DE+DE}{3}=DE\)

Vậy \(\frac{2}{3}R< DE< R.\)

a: Xét ΔBOA vuông tại B có cos BOA=\(\frac{OB}{OA}=\frac12\)

nên \(\hat{BOA}=60^0\)

Xét ΔOBM có OB=OM và \(\hat{BOM}=60^0\)

nên ΔOBM đều

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

ΔBOM cân tại B

mà BH là đường cao

nên H là trung điểm của OM

=>HO=HM

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(HM\cdot OA=OB^2=R^2\)

b: ΔODE cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK⊥DE tại K

TA có: \(\hat{OKA}=\hat{OBA}=\hat{OCA}=90^0\)

=>O,K,A,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

c: Xét (O) có

\(\hat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM

\(\hat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

Do đó: \(\hat{ABM}=\hat{BNM}\)

Xét ΔABM và ΔANB có

\(\hat{ABM}=\hat{ANB}\)

góc BAM chung

Do đó: ΔABM~ΔANB

=>\(\frac{AB}{AN}=\frac{AM}{AB}\)

=>\(AM\cdot AN=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AN=AH\cdot AO\)

a: góc KOA+góc BOA=90 độ

góc KAO+góc COA=90 độ

mà góc BOA=góc COA

nên góc KOA=góc KAO

=>ΔKAO cân tại K

b: Xét ΔOBA vuông tại B có sin BAO=OB/OA=1/2

nên góc BAO=30 độ

=>góc BOA=60 độ

Xét ΔOBI có OB=OI và góc BOI=60 độ

nên ΔOBI đều

=>OI=OB=1/2OA=R

=>I là trung điểm của OA

ΔKAO cân tại K

mà KI là trung tuyến

nên KI vuông góc với OI

=>KI là tiếp tuyến của (O)