Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có hình vẽ sau:
O A B C E D F
a)Vì các tiếp tuyến AB, AC của (O) có B,C ∈ (O) nên \(\widehat{ABO}=\widehat{OCA}=90^o\)
Xét tứ giác OBAC có: \(\widehat{ABO}+\widehat{OCA}=90^o+90^o=180^o\)
\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{OCA}\) đối nhau
➤ Tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn đường kính OA
b) Vì góc nội tiếp \(\widehat{BDE}\) chắn \(\stackrel\frown{BE}\); \(\widehat{ABE}\) được tạo bởi tiếp tuyến AB và chắn \(\stackrel\frown{BE}\) nên
\(sđ\dfrac{\stackrel\frown{BE}}{2}=sđ\widehat{ABE}=sđ\widehat{BDE}\) trong khi E ∈ AD
▲ABE và ▲ADB có: \(\widehat{ABE}=\widehat{BDA}\)(cmtrên)
\(\widehat{A}\) là góc chung
⇒▲ABE ∼ ▲ADB(g-g) ⇔ \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\Leftrightarrow AB^2=AD\cdot AE\)(điều phải chứng minh)
Vì ▲OAB vuông tại B nên ta có: \(AB^2+OB^2=OA^2\)(Định lý Pytago)
\(\Leftrightarrow AB^2=OA^2-OB^2=\left(3R\right)^2-R^2\) vì B∈(O)
\(=9R^2-R^2\\=8R^2 \)
Trong khi, \(AB^2=AD\cdot AE\)(cmtrên). ➤\(AD\cdot AE=8R^2\left(=AB^2\right)\)
a) Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}\) và \(\widehat{ACO}\) là hai góc đối
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
a: Xét tứ giác OBAC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\hat{FCE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến FC và dây cung CE
\(\hat{CBE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE
Do đó: \(\hat{FCE}=\hat{CBE}\)
Xét (O) có
\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE
\(\hat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{BDE}\)
mà \(\hat{BDE}=\hat{FAE}\) (hai góc so le trong, BD//AC)
nên \(\hat{FAE}=\hat{FBA}\)
Xét ΔFCE và ΔFBC có
\(\hat{FCE}=\hat{FBC}\)
góc CFE chung
Do đó: ΔFCE~ΔFBC
=>\(\frac{FC}{FB}=\frac{FE}{FC}\)
=>\(FC^2=FE\cdot FB\) (1)
Xét ΔFAE và ΔFBA có
\(\hat{FAE}=\hat{FBA}\)
góc AFE chung
Do đó: ΔFAE~ΔFBA
=>\(\frac{FA}{FB}=\frac{FE}{FA}\)
=>\(FA^2=FB\cdot FE\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra FA=FC
=>F là trung điểm của AC
c: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trưc của BC(4)
Từ (3),(4) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(5\right)\)
Xét (O) có
\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE
\(\hat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{BDE}\)
Xét ΔABE và ΔADB có
\(\hat{ABE}=\hat{ADB}\)
góc BAE chung
Do đó: ΔABE~ΔADB
=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\)
=>\(AE\cdot AD=AB^2\left(6\right)\)
Từ (5),(6) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
=>\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)
Xét ΔAHE và ΔADO có
\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)
góc HAE chung
Do đó: ΔAHE~ΔADO
=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)
=>\(\hat{AHE}=\hat{ODE}\)
mà \(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{ODE}+\hat{OHE}=180^0\)
=>OHED là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{DHO}=\hat{DEO}\)
mà \(\hat{DEO}=\hat{OED}=\hat{ODE}\) (ΔODE cân tại O)
và \(\hat{ODE}=\hat{AHE}\)
nên \(\hat{AHE}=\hat{DHO}\)
=>\(90^0-\hat{AHE}=90^0-\hat{DHO}\)
=>\(\hat{EHB}=\hat{DHB}\)
=>HB là phân giác của góc DHE
a: ΔODE cân tại O
mà OM là trung tuyến
nên OM vuông góc DE
=>góc OMA=90 độ=góc OCA=góc OBA
=>O,A,B,M,C cùng thuộc 1 đường tròn
b: Xét ΔBSC và ΔCSD có
góc SBC=góc SCD
góc S chung
=>ΔBSC đồng dạng với ΔCSD
=>SB/CS=SC/SD
=>CS^2=SB*SD
góc DAS=gócEBD
=>góc DAS=góc ABD
=>ΔSAD đồng dạng với ΔSBA
=>SA/SB=SD/SA
=>SA^2=SB*SD=SC^2
=>SA=SC
c; BE//AC
=>EH/SA=BH/SC=HJ/JS
mà SA=SC
nênHB=EH
=>H,O,C thẳng hàng
a: ΔODE cân tại O
mà OM là trung tuyến
nên OM vuông góc DE
=>góc OMA=90 độ=góc OCA=góc OBA
=>O,A,B,M,C cùng thuộc 1 đường tròn
b: Xét ΔBSC và ΔCSD có
góc SBC=góc SCD
góc S chung
=>ΔBSC đồng dạng với ΔCSD
=>SB/CS=SC/SD
=>CS^2=SB*SD
góc DAS=gócEBD
=>góc DAS=góc ABD
=>ΔSAD đồng dạng với ΔSBA
=>SA/SB=SD/SA
=>SA^2=SB*SD=SC^2
=>SA=SC
c; BE//AC
=>EH/SA=BH/SC=HJ/JS
mà SA=SC
nênHB=EH
=>H,O,C thẳng hàng
