a: Xét (O) có

EA,EC là các tiếp tuyến

Do đó: OE là phân giác của góc AOC và EA=EC

Xét (O) có

FC,FB là các tiếp tuyến

Do đó: OF là phân giác của góc BOC và FB=FC

ΔOAC cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥AC tại M và M là trung điểm cua AC

ΔOBC cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥BC tại N và N là trung điểm của BC

Xét ΔCAB có

M,N lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>MN là đường trung bình của ΔCAB

=>MN//AB

1: Xét (O) có

EA,EM là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EM và OE là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

FM,FB là các tiếp tuyến

Do đó: FM=FB và OF là phân giác của góc MOB

ΔOAM cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥AM tại P và P là trung điểm của AM

ΔOBM cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥BM tại Q và Q là trung điểm của BM

Ta có: \(\hat{MPO}=\hat{MHO}=\hat{MQO}=90^0\)

=>M,P,O,H,Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO

2: OE là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOE}\)

OF là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOF}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOE}+\hat{MOF}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{EOF}=180^0\)

=>\(\hat{EOF}=90^0\)

Xét ΔEOF vuông tại O có OM là đường cao

nên \(ME\cdot MF=OM^2\)

=>\(EA\cdot BF=OM^2=R^2\)

3: Gọi G là giao điểm của MB và AE

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BG tại M

=>ΔAMG vuông tại M

Ta có: \(\hat{EAM}+\hat{EGM}=90^0\) (ΔAMG vuông tại M)

\(\hat{EMA}+\hat{EMG}=\hat{AMG}=90^0\)

mà \(\hat{EAM}=\hat{EMA}\) (ΔEAM cân tại E)

nên \(\hat{EGM}=\hat{EMG}\)

=>EG=EM

mà EM=EA

nên EG=EA(1)

Ta có: MH⊥AB

AG⊥ BA

Do đó: MH//AG

Xét ΔBAE có KH//AE

nên \(\frac{KH}{AE}=\frac{BK}{BE}\) (2)

Xét ΔBEG có MK//EG

nên \(\frac{MK}{EG}=\frac{BK}{BE}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH

1: Xét (O) có

EA,EM là các tiếp tuyến

Do đó: EA=EM và OE là phân giác của góc MOA

Xét (O) có

FM,FB là các tiếp tuyến

Do đó: FM=FB và OF là phân giác của góc MOB

ΔOAM cân tại O

mà OE là đường phân giác

nên OE⊥AM tại P và P là trung điểm của AM

ΔOBM cân tại O

mà OF là đường phân giác

nên OF⊥BM tại Q và Q là trung điểm của BM

Ta có: \(\hat{MPO}=\hat{MHO}=\hat{MQO}=90^0\)

=>M,P,O,H,Q cùng thuộc đường tròn đường kính MO

2: OE là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOE}\)

OF là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOF}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOE}+\hat{MOF}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{EOF}=180^0\)

=>\(\hat{EOF}=90^0\)

Xét ΔEOF vuông tại O có OM là đường cao

nên \(ME\cdot MF=OM^2\)

=>\(EA\cdot BF=OM^2=R^2\)

3: Gọi G là giao điểm của MB và AE

Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM⊥BG tại M

=>ΔAMG vuông tại M

Ta có: \(\hat{EAM}+\hat{EGM}=90^0\) (ΔAMG vuông tại M)

\(\hat{EMA}+\hat{EMG}=\hat{AMG}=90^0\)

mà \(\hat{EAM}=\hat{EMA}\) (ΔEAM cân tại E)

nên \(\hat{EGM}=\hat{EMG}\)

=>EG=EM

mà EM=EA

nên EG=EA(1)

Ta có: MH⊥AB

AG⊥ BA

Do đó: MH//AG

Xét ΔBAE có KH//AE

nên \(\frac{KH}{AE}=\frac{BK}{BE}\) (2)

Xét ΔBEG có MK//EG

nên \(\frac{MK}{EG}=\frac{BK}{BE}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MK=KH

1: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc AOM

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc AOD

Ta có: CD=CM+MD

mà CM=CA và DM=DB

nên CD=CA+DB

2: Ta có: OC là phân giác của góc MOA

=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)

Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)

=>\(\hat{COD}=90^0\)

3: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

=>\(AC\cdot BD=OM^2=\left(\frac12AB\right)^2=\frac14AB^2\)

4: Xét (O) có

ΔMAB nội tiếp

AB là đường kính

DO đó: ΔMAB vuông tại M

=>MA⊥MB

Ta có: CA=CM

=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của AM

=>OC⊥AM

mà MA⊥MB

nên OC//MB

5: Gọi K là trung điểm của CD

=>K là tâm đường tròn đường kính CD

ΔOCD vuông tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên \(OK=KC=KD\)

=>O nằm trên (K)

Xét hình thang ACDB có

O,K lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>OK là đường trung bình của hình thang ACDB

=>OK//AC//BD

=>OK⊥AB

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
6: Xét ΔNAC và ΔNDB có

\(\hat{NAC}=\hat{NDB}\) (hai góc so le trong, AC//DB)

\(\hat{ANC}=\hat{DNB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNAC~ΔNDB

=>\(\frac{NA}{ND}=\frac{NC}{NB}=\frac{AC}{BD}=\frac{CM}{MD}\)

Xét ΔCDB có \(\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MD}\)

nên MN//BD

=>MN⊥AB

a: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là trung trực của AM

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

c: Xét tứ giác MEOF có

góc MEO=góc MFO=góc EOF=90 độ

nên MEOF là hình chữ nhật

=>EF=MO=R