Cho đường tròn (O;R) và điểm A năm ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M khác điểm A. Qua điểm M vẽ hai tiếp tuyến ME và MF tới đường tròn (O) (E, F là tiếp điểm). EF cắt OM và OA lần lượt tại H và K

a, Chứng minh: H là trung điểm EF

b, Chứng minh: O,M,A,F cùng thuộc 1 đường tròn

c, Chứng minh:OK.OA = \(^{R^2}\)

d, Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d để tam giác OHK có diện tích lớn nhất

Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định ở ngoài đường tròn . Vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A . Trên d lấy điểm M . Qua M kẻ 2 tiếp tuyến ME,MF tới đường tròn (O;R) tiếp điểm lần lượt là E và F . Nối EF cắt OM tại H,cắt OA tại B

a) Chứng minh OM vuông góc với EF

b) Cho biết R`=6` cm,OM`=10` cm . Tính OH

c) Chứng minh 4 điểm A,B,H,M cùng thuộc một đường tròn

Cho đường tròn (O; R) và điểm A là 1 điểm cố định thuộc đường tròn. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A. Trên đường thẳng d lấy điểm M(M khác A), kẻ dây cung AB vuông góc với OM tại H.

a) Chứng minh BM là tiếp tuyến của (O) và 4 điểm A; 0, M; B cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Kẻ đường kính AD của (O), đoạn thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Chứng minh \(MA^2\text{= MH.MO = ME.MD}\). Từ đó suy ra: EHM = ODM

c) Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng d để diện tích AMPQ đạt giá trị nhỏ nhất?

Mọi người giúp em ý 4 với ạ

Cho (O; R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến AM, AN (M, N là 2 tiếp điểm). Qua A kẻ cát tuyến AEF với đường tròn (O) (E nằm giữa A và F). Qua O kẻ đường thẳng OD vuông góc với EF (D thuộc EF. Đường thẳng OD cắt AM, AN lần lượt tại B và C.

1) Chứng minh bốn điểm A, D, O, N thuộc một đường tròn

2) Chứng minh: AM² = AE.AF. Biết AM = 6cm; AF = 9cm. Tính độ dài đoạn thẳng EF.

3) Chứng minh rằng: \(\widehat{MDB}\)= \(\widehat{NDC}\)

4) Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt MN tại I, AI cắt CB tại H. Chứng minh H là trung điểm của CB.

Cho đường tròn (O;R). Từ 1 điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ (P và Q là 2 tiếp điểm). Đường thẳng d bất kỳ nằm ngoài đường tròn cắt AP và AQ lần lượt tại E và F. Trên nửa mặt phẳng bờ EF chứa điểm A vẽ tia Ex sao cho \(\widehat{FEx}=\widehat{AEO}\), tia này giao tia AO tại G. H là hình chiếu vuông góc của G lên EF. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với PQ ở K, đường thẳng này cắt AE và AF tại M và N.

a) Chứng minh: \(\Delta MAN\)là tam giác cân ?

b) Chứng minh \(\widehat{EFG}=\widehat{AFO}\)?

c) Chứng minh KH là phân giác của \(\widehat{EKF}\)?

Cho đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $H$ không trùng với điểm $A$ và $AH < R$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm $E$ và $B$ ($E$ nằm giữa $B$ và $H$).

a) Chứng minh \(\widehat{ABE}=\widehat{EAH}\)  và \(\Delta ABH\backsim\Delta AEH\).
b) Lấy điểm $C$ trên $d$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn $AC$, đường thẳng $CE$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $AHEK$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm $H$ để \(AB=R\sqrt{3}\).

Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (Δ) không có điểm chung với đường tròn (O) , H là hình chiếu vuông góc của O trên (Δ) . Từ điểm M bất kỳ trên (Δ) (M≠≠H) , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A,B là hai tiếp điểm ) . Gọi K, I thứa tự là giao điểm của AB với OM và OH .

1. chứng minh AB=2AK và 5 điểm M;A;O;B;H cùng thuộc đường tròn .

2. Chứng minh OI.OH=OK.OM=R22

3. Trên đoạn OA lấy điểm N sao cho AN=2ON. Đường trung trực của BN cắt OM ở E . Tính tỷ số OEOM

cho đường tròn tâm O đường kính AB , M là điểm thuộc đọan thẳng OA , vẽ đường tròn \(O^'\) đường kính MB . Gọi I là trung điểm đọan thẳng MA , vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I . Đường thẳng BC cắt đường tròn (\(O^'\)) tại J

a chứng minh đường thẳng Ị là tiếp tuyến của đường tròn (\(O^'\) )

b , Xác định ví trí của M trên đọan thẳng OA để diện tích tam giác IJ\(O^'\) lớn nhất

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O;R) và OP=2R,vẽ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn (A;B là hai tiếp điểm).Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho MA<MB (M không trùng với A),qua M vẽ đường thẳng vuông góc với OM,đường thẳng này cắt PA,PB lần lượt ở C và D.

a)Chứng minh:tứ giác AMOC nội tiếp.

b)Chứng minh:Tam giác OCD cân.

c)Tia PM cắt (O) tại E và F (E nằm giữa M và P).Trong trường hợp EF=R\(\sqrt{2}\)  ,hãy tính PE theo R