1, Xét $(O)$ có các tiếp tuyến $AM;AN$ 

suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o;AM=AN;AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

nên $\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^o$

suy ra tứ giác $AMON$ nội tiếp (tổng 2 góc đối =180 độ)

2, Ta có: $AM=AN⇒ΔAMN$ cân tại $A$
có đường phân giác $AO$
$⇒AO$ đồng thời là đường trung trực tam giác $AMN$

$⇒AO⊥MN$ tại $H$

3. Xét $ΔAMO$ vuông tại $M$

$MH$ là đường cao

Nên $AH.AO=AM^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét $(O)$ có: Tiếp tuyến $AM$

nên $\widehat{AMB}=\widehat{MCB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)

hay $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

Xét tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

$\widehat{A}$ chung

Nên  tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ đồng dạng (g.g)

suy ra $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{AC}$

nên $AM^2=AB.AC$

Từ đó suy ra $AH.AO=AB.AC$

1: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường trung tuyến

nên OH⊥BC tại H

Xét tứ giác AMON có \(\hat{AMO}+\hat{ANO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMON là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AHON có \(\hat{AHO}+\hat{ANO}=90^0+90^0=180^0\)

nên AHON là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của MN

=>OA⊥MN tại I và I là trung điểm của MN

Xét ΔAMO vuông tại M có MI là đường cao

nên \(AI\cdot AO=AM^2\)

a: ΔOBC cân tại O

mà OH là trung tuyến

nên OH vuông góc BC

góc OHA+góc ONA=180 độ

=>OHAN nội tiếp

góc OMA+góc ONA=90+90=180 độ

=>OMAN nội tiếp

b: Xét ΔAMB và ΔACM có

góc AMB=góc ACM

góc BAM chung

=>ΔAMB đồng dạng với ΔACM

=>AM/AC=AB/AM

=>AM^2=AB*AC

bài đầy đủ đây bạn nhé

https://www.youtube.com/watch?v=DiI4Jz-LYQ4

Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90^o = > 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25

=> AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

AM = AN => ∆AMN cân tại A => AMN = ANM

=> AIN = AIM => đpcm

1: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥BC tại I

Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: OA là phân giác của góc MON

=>\(\hat{MOA}=\hat{NOA}\)

TA có: \(\hat{AIO}=\hat{AMO}=\hat{ANO}=90^0\)

=>A,I,O,M,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO

TA có: \(\hat{AIN}=\hat{AON}\) (AION nội tiếp)

\(\hat{AIM}=\hat{AOM}\) (AMIO nội tiếp)

mà \(\hat{AON}=\hat{AOM}\)

nên \(\hat{AIN}=\hat{AIM}\)

=>IA là phân giác của góc MIN

a; Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN và OA là phân giác của góc MON

ΔOMN cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥MN tại H và H là trung điểm của MN

Xét (O) có

\(\hat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB

\(\hat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

Do đó: \(\hat{AMB}=\hat{MCB}\)

Xét ΔAMB và ΔACM có

\(\hat{AMB}=\hat{ACM}\)

góc MAB chung

Do đó: ΔAMB~ΔACM

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AM}\)

=>\(AB\cdot AC=AM^2\left(1\right)\)

Xét ΔAMO vuông tại M có MH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot AO=AM^2\)

b: \(AB\cdot AC=AH\cdot AO\)

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AO}\)

Xét ΔAHB và ΔACO có

\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AO}\)

góc HAB chung

Do đó: ΔAHB~ΔACO

=>\(\hat{AHB}=\hat{ACO}\)

mà \(\hat{AHB}+\hat{OHB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHB}+\hat{OCB}=180^0\)

=>BHOC là tứ giác nội tiếp

a, b, c HS tự làm

d, Gợi ý: G' ÎOI mà  I G ' I O = 1 3 => G' thuộc (G'; 1 3 R)

2 A K = 1 A B + 1 A C ⇔ 2 A B . A C = A K ( A B + A C ) ⇔ A B . A C = A K . A I

(Do AB+ AC = 2AI)

∆ABN  đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN²

∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO

Tam giác ∆AMO vuông tại M có đường cao MH => AH.AO = AM²

=> AK.AI = AM² . Do AN = AM => AB.AC = AK.AI