Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
*Mình vẽ hình trên GeoGebra nên bạn vào thống kê mình xem*
Xét \(\Delta IDC\) và \(\Delta\)IAB có:
\(\widehat{DIC}=\widehat{AIB}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{IDC}=\widehat{IAB}\) (cùng chắn cung BC)
Do đó \(\Delta IDC\)đồng dạng với \(\Delta\)IAB => \(\frac{ID}{IA}=\frac{IC}{IB}=\frac{CD}{AB}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\Delta\)IAD đồng dạng \(\Delta\)IBC => \(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}=\frac{DA}{BC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{ID}{IB}=\frac{ID}{IA}\cdot\frac{IA}{IB}=\frac{DA\cdot CD}{AB\cdot BC}\)
\(\Rightarrow\frac{ID+IB}{IB}=\frac{AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot BC}\) hay \(BD=\frac{AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot BC}\cdot IB\)
mặt khác ta có: \(\frac{IC}{IA}=\frac{IC}{IB}:\frac{IA}{IB}=\frac{BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\Rightarrow\frac{IC+IA}{IA}=\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\cdot IA\)
Do đó: \(\frac{AC}{BD}=\left(\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot DA}\cdot IA\right):\left(\frac{AB\cdot BC+DA\cdot CB}{AB\cdot BC}\cdot IB\right)\Rightarrow\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\)
Do đó:
\(\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\left(max\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}AC\left(max\right)\\BD\left(min\right)\end{cases}}\)<=> AC qua O và BD _|_ OI
\(\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\left(min\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}AC\left(min\right)\\BD\left(max\right)\end{cases}}\)<=> AC _|_OI vfa BD đi qua O
B O A C D K H E
a, Xét tứ giác AKCH có: \(\widehat{AKC}+\widehat{AHC}=90+90=180\)=> tứ gác AKCH nội tiếp
b,Tứ giác AKCH nội tiếp => \(\widehat{HCK}=\widehat{HAD}\)(góc trong và góc ngoài đỉnh đối diện)
Mặt khác: \(\widehat{HAD}=\widehat{BCD}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BD}\)
=> \(\widehat{BCD}=\widehat{ACD}\)=> CD là phân giác \(\widehat{KCB}\)
c, Tứ giác AKCH nội tiếp: => \(\widehat{CKE}=\widehat{CAH}\)
Mà: \(\widehat{CDB}=\widehat{CAH}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\)
=> \(\widehat{CKE}=\widehat{CDE}\)=> tứ giác CKDE nội tiếp
=> \(\widehat{CKD}+\widehat{CED}=180\Rightarrow\widehat{CED}=180-\widehat{CKD}=180-90=90\)
=> \(CE⊥BD\)(ĐPCM)
d, em xem lại xem có gõ sai đề không nhé
Câu d) Khi C di chuyển trên cung nhỏ̉ AB. Xác định vị trí C để CK.AD+CE.DB có giá trị lớn nhất.
Nhờ mọi người giải dùm e với.
Vì AC⊥BD
nên \(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD\)
Ta có: \(AC\cdot BD<=\frac{\left(AC+BD\right)^2}{4}\)
=>\(\frac12\cdot AC\cdot BD\le\frac18\cdot\left(AC+BD\right)^2\)
=>\(S_{ABCD}\le\frac12\cdot\left(AC+BD\right)^2\)
Dấu '=' xảy ra khi AC=BD
Kẻ OH⊥AC tại H, OK⊥BD tại K
=>OH,OK lần lượt là khoảng cách từ O đến dây AC và khoảng cách từ O đến dây BD
mà AC=BD
nên OH=OK
Xét tứ giác OHPK có \(\hat{OHP}=\hat{OKP}=\hat{KOH}=90^0\)
nên OHPK là hình chữ nhật
Hình chữ nhật OHPK có OH=OK
nên OHPK là hình vuông
=>OP là phân giác của góc HOK
=>\(\hat{POH}=45^0\)
=>\(\hat{OP;OH}=45^0\)
=>\(\hat{OP;BD}=45^0\)
hay \(\hat{OPD}=45^0\)
Vậy: Diện tích ABCD lớn nhất khi AC=BD và BD nằm ở vị trí sao cho \(\hat{OPD}=45^0\)