a) Xét tam giác COD cân tại O có OH là đường cao

⇒ OH cũng là tia phân giác ⇒ ∠(COM) = ∠(MOD)

Xét ΔMCO và ΔMOD có:

CO = OD

∠(COM) = ∠(MOD)

MO là cạnh chung

⇒ ΔMCO = ΔMOD (c.g.c)

⇒ ∠(MCO) = ∠(MDO)

∠(MCO) =  90 0 nên ∠(MDO) = 90 0

⇒ MD là tiếp tuyến của (O)

a: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD và OH là phân giác của góc COD

Xét ΔOCM và ΔODM có

OC=OD

\(\hat{COM}=\hat{DOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOCM=ΔODM

=>\(\hat{OCM}=\hat{ODM}\)

=>\(\hat{ODM}=90^0\)

=>MD là tiếp tuyến của (O)

b: OA+AM=OM

=>OM=R+R=2R

ΔOCM vuông tại C

=>\(CO^2+CM^2=OM^2\)

=>\(CM^2=\left(2R\right)^2-R^2=4R^2-R^2=3R^2\)

=>\(CM=R\sqrt3\)

Xét ΔOCM vuông tại C có CH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OC^2\)

=>\(OH=\frac{R^2}{2R}=\frac{R}{2}\)

Xét (O) có

ΔCDE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCDE vuông tại D

Xét ΔCDE có H,O lần lượt là trung điểm của CD,CE

=>HO là đường trung bình của ΔCDE

=>HO//ED và HO=1/2ED

=>ED=2OH=R

c: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(CH^2=HA\cdot HB\)

=>\(4\cdot CH^2=4\cdot HA\cdot HB\)

=>\(CD^2=4\cdot HA\cdot HB\)

\(HA^2+HB^2+\frac{CD^2}{2}\)

\(=HA^2+HB^2+2\cdot HA\cdot HB\)

\(=\left(HA+HB\right)^2=AB^2=4R^2\)

d: Xét (O) có

ΔCFE nội tiếp

CE là đường kính

Do đó: ΔCFE vuông tại F

=>CF⊥ME tại F

Xét ΔMCE vuông tại C có CF là đường cao

nên \(MF\cdot ME=MC^2\) (1)

Xét ΔMCO vuông tại C có CH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MC^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MF\cdot ME=MH\cdot MO\)

=>\(\frac{MF}{MH}=\frac{MO}{ME}\)

Xét ΔMFO và ΔMHE có

\(\frac{MF}{MH}=\frac{MO}{ME}\)

góc FMO chung

Do đó: ΔMFO~ΔMHE

=>\(\hat{MOF}=\hat{MEH}\)

c) Ta có: ΔCOD cân tại O có OH là đường cao cũng là đường trung tuyến của tam giác

⇒ CH = HD = CD/2 ⇒ C H 2 = D H 2 = C D 2 / 4

Tam giác ACH vuông tại H có:

A H 2 + C H 2 = C A 2 ⇒ A H 2 + C D 2 / 4 = C A 2  (1)

Tam giác CHB vuông tại H có:

B H 2 + C H 2 = C B 2 ⇒ B H 2 + C D 2 / 4 = C B 2  (2)

Từ (1) và (2) ta có:

b) Ta có: OM = OA + AM = R + R = 2R

Xét tam giác MCO vuông tại C, CH là đường cao có:

MO 2 = MC 2 + OC 2

CH.OM = CM.CO

Lại có: CD = 2CH ⇒ CD = R 3

Tam giác CDE nội tiếp (O) có CE là đường kính nên ΔCDE vuông tại D

Theo định lí Py ta go ta có:

CE 2 = CD 2 + DE 2

a: Sửa đề: MO là đường trung trực của CD

ΔOCD cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là đường trung trực của CD

b: ΔOCD cân tại O

mà OM là đường cao

nên OM là phân giác của góc COD

Xét ΔOCM và ΔODM có

OC=OD

\(\hat{COM}=\hat{DOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOCM=ΔODM

=>\(\hat{OCM}=\hat{ODM}\)

=>\(\hat{ODM}=90^0\)

=>MD là tiếp tuyến tại D của (O)

c: OA+AM=OM

=>OM=R+R=2R

ΔOCM vuông tại C

=>\(CO^2+CM^2=OM^2\)

=>\(MC^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(MC=R\sqrt3\)