Câu hỏi của Dạ Thảo Đinh

Question

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là 1 điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. lấy điểm E đối xừng với A qua M.

a) Tứ giác ACDE là hình gì? Vì sao?

b) Giả sử...

Ngô Kim Tuyền · Accepted Answer

Đường tròn

a) Ta có: đường kính AB vuông góc với dây CD tại M (gt) (1)

$\Rightarrow MC=MD\left(2\right)$

Mà MA = ME (E đối xứng với A qua M) (3)

Từ (2), (3) $\Rightarrow$ Tứ giác ACED là hình bình hành (4)

Từ (1), (2) $\Rightarrow AB$ là đường trung trực của CD

$\Rightarrow$ Điểm E nằm trên đường trung trực AB cách đều 2 đầu mút C và D $\Rightarrow EC=ED$ (5)

Từ (4), (5) $\Rightarrow$ Tứ giác ACED là hình thoi

b) Ta có: AB = 2R = 2 . 6,5 = 13 (cm)

$\Rightarrow MB=AB-MA=13-4=9\left(cm\right)$

Theo hệ thức lượng ta có:

MC² = MA . MB = 4 . 9 = 36

$\Leftrightarrow MC=\sqrt{36}=6\left(cm\right)$

Từ (2) $\Rightarrow MC=MD=\dfrac{CD}{2}$

$\Leftrightarrow CD=2MC=2.6=12\left(cm\right)$

c) Áp dụng hệ thức lượng đối với :

- $\Delta AMC$ ta có:

MH . AC = MA . MC

$\Leftrightarrow MH=\dfrac{MA.MC}{AC}$

- $\Delta BMC$ ta có:

MK . BC = MB . MC

$\Leftrightarrow MK=\dfrac{MB.MC}{BC}$

$\Rightarrow MH.MK=\dfrac{MA.MC.MB.MC}{AC.BC}$

= $\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}\left(6\right)$

Vì $\Delta ACB$ có cạnh AB là đường kính của đường tròn tâm O nên $\Delta ACB$ vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng đối với $\Delta ACB$ ta có:

MC² = MA . MB (7)

Và AC. BC = MC . AB (8)

Từ (6), (7), (8) $\Rightarrow\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}=\dfrac{MC^2.MC^2}{MC.AB}=\dfrac{MC^4}{MC.AB}=\dfrac{MC^3}{AB}=\dfrac{MC^3}{2R}$

Vậy MH . MK = $\dfrac{MC^3}{2R}$

Câu trả lời: