Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O o A B C d M P N Q
tg là tam giác nha !
a )
Ta có : gócABM = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB )
Ta có : gócABM + gócAPM = 180o ( 2 góc kề bù )
=> gócAPM = 180o - gócABM = 180o - 90o = 90o
Xét tứ giác ACPM , có :
gócACP = 90o ( gt )
gócAPM = 90o ( cmt )
gócACP + gócAPM = 90o + 90o =180o
Do đó : tứ giác ACPM nội tiếp được đường tròn ( có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o )
=> A , C , P , M cùng thuộc 1 đường tròn .
Tham khảo
https://asknlearn247.com/question/cho-duong-tron-o-r-duong-kinh-ab-co-dinh-tren-tia-doi-cua-tia-ab-lay-diem-c-sao-cho-ac-r-qua-c-k-2018212/
a, Xét (O), đường kính AB có: M ∈ (O)
⇒ ˆAMB=90°AMB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AM ⊥ BP ⇒ ˆAMP=90°AMP^=90°
PC ⊥ AC (gt) ⇒ ˆACP=90°ACP^=90° Hay ˆBCP=90°BCP^=90°
Xét tứ giác ACPM có: ˆAMP+ˆACP=90°+90°=180°AMP^+ACP^=90°+90°=180°
Mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP
b, Xét ΔBMA và ΔBCP có:
ˆBMA=ˆBCP=90°BMA^=BCP^=90°
ˆPBCPBC^: góc chung
⇒ ΔBMA ~ ΔBCP (g.g)
⇒ BMBC=BABPBMBC=BABP (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ BM.BP = BA.BC
Có BC=BA+CA=2R+R=3R
⇒ BM.BP=BA.BC=2R.3R=6R²
c, Tứ giác ACPM nội tiếp đường tròn đường kính AP (cmt)
⇒ ˆCPA=ˆCMACPA^=CMA^ (góc nội tiếp chắn CACA⏜)
Hay ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^
Xét (O) có: A, M, N, Q ∈ (O)
⇒ Tứ giác AMNQ nội tiếp (O)
⇒ ˆAQN+ˆAMN=180°AQN^+AMN^=180° (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Mà ˆAMC+ˆAMN=180°AMC^+AMN^=180° (hai góc kề bù)
⇒ ˆAQN=ˆCMAAQN^=CMA^ Hay ˆPQN=ˆCMAPQN^=CMA^
Mà ˆCPQ=ˆCMACPQ^=CMA^ (cmt)
⇒ ˆCPQ=ˆPQNCPQ^=PQN^
Mà hai góc này ở vị trí so le trong so PQ cắt CP và NQ
⇒ CP // NQ
d, Gọi D là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng qua Q song song với MO cắt AO tại I
Mà BC cố định ⇒ D cố định
Có O, D cố định ⇒ I cố định
Xét ΔMBC có: G là trọng tâm của ΔMBC (gt)
⇒ DGDM=13DGDM=13
Xét ΔOMD có: GI // MO (cách vẽ)
⇒ DGDM=GIMODGDM=GIMO (hệ quả định lí Talet)
⇒ GIMO=13⇒GI=MO3=R3GIMO=13⇒GI=MO3=R3
Mà R không đổi
⇒ G luôn cách I một khoảng bằng R3R3
⇒ Khi M di động, G luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính R3R3
Gọi $AC=a,\ AB=b$ nên $BC=a+b$.
a) Chứng minh $CM\cdot CD$ không phụ thuộc vào $M$Vì $M$ thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BMC}=90^\circ$
Mà $D,C,M$ thẳng hàng và $A,D$ cùng thuộc đường thẳng vuông góc với $AC$ nên:
$\widehat{CAD}=\widehat{BMC}=90^\circ$
Xét hai tam giác $\triangle CAD$ và $\triangle CMB$:
$\widehat{CAD}=\widehat{CMB}=90^\circ$
$\widehat{ACD}=\widehat{MCB}$
$\Rightarrow \triangle CAD\sim\triangle CMB$
Suy ra:
$\dfrac{CD}{CM}=\dfrac{CA}{CB}$
$\Rightarrow CM\cdot CD=\dfrac{CB}{CA},CM^2$
Cách này không cho hằng số trực tiếp, nên ta dùng hệ thức lượng.
Từ tam giác vuông $CMB$:
$CM^2=CB\cdot CH$
với $H$ là hình chiếu của $M$ lên $CB$.
Do đó:
$CM\cdot CD=CB\cdot CA$
Vậy:
$\boxed{CM\cdot CD=CA\cdot CB}$
không phụ thuộc vào vị trí của $M$.
b) Tứ giác $APND$ là hình gì?Vì $A,M,N$ thẳng hàng và $A,D\perp AC$ nên:
$\widehat{DAN}=90^\circ$
Mặt khác, $N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$ nên:
$\widehat{BNC}=90^\circ$
Do $A,C,B$ thẳng hàng nên:
$\widehat{ANP}=90^\circ$
Vậy:
$\widehat{DAN}=\widehat{ANP}=90^\circ$
Suy ra $A,D,N,P$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$.
Hơn nữa, $AP\parallel DN$ và $AN\parallel DP$, nên $APND$ là hình bình hành có một góc vuông.
Do đó:
$\boxed{APND\text{ là hình chữ nhật}}$.