Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
c) gợi ý:Lấy E thuộc tia đối của AB sao cho AB=AE. dễ dàng chứng minh H thuộc đường tròn Đường kính AE cố định
a) Tam giác vuông ABO và ACO có chung cạnh huyền AO nên O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AB = AC nên ABC là tam giác cân tại A.
Lại có AO là phân giác nên đồng thời là đường trung tuyến. Vậy thì AO đi qua H hay A, H, O thảng hàng.
Theo liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung, ta có \(\widehat{KDC}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta cũng có: \(\widehat{COA}=\frac{\widehat{BOC}}{2}\)
Suy ra \(\widehat{KDC}=\widehat{COA}\)
Vậy thì \(\Delta KDC\sim\Delta COA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CK}{AC}=\frac{CD}{AO}\Rightarrow AC.CD=CK.AO\)
c) Ta thấy \(\widehat{ABN}=\widehat{NBC}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung chắn các cung bằng nhau)
Vậy nên BN là phân giác góc ABC.
Lại có AN là phân giác góc BAC nên N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
d) Gọi J là trực tâm tam giác ABC. Ta có ngay \(JC\perp AB;BJ\perp AC\)
Vậy thì BO // JC ; BJ // OC
Suy ra tứ giác JBOC là hình bình hành.
Lại có OB = OC nên JBOC là hình thoi.
Từ đó ta có JB = JC = OB = OC = R.
Vậy khi A di chuyển trên tia By cố định thì BJ = R hay J thuộc đường tròn tâm B, bán kính R.
a: Xét (O) có
ΔAMN nội tiếp
MN là đường kính
Do đó: ΔAMN vuông tại A
=>AM⊥ AN tại A
=>AC⊥ AD tại A
Xét ΔACD vuông tại A có AB là đường cao
nên \(BC\cdot BD=BA^2=4R^2\)
b: Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>BM⊥AC tại M
Xét (O) có
ΔANB nội tiếp
AB là đường kính
Do đo: ΔANB vuông tại N
=>BN⊥AD tại N
Xét ΔABC vuông tại B có BM là đường cao
nên \(AM\cdot AC=AB^2\left(1\right)\)
Xét ΔABD vuông tại B có BN là đường cao
nên \(AN\cdot AD=AB^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AC=AN\cdot AD\)
=>\(\frac{AM}{AD}=\frac{AN}{AC}\)
Xét ΔAMN vuông tại A và ΔADC vuông tại A có
\(\frac{AM}{AD}=\frac{AN}{AC}\)
Do đó: ΔAMN~ΔADC
=>\(\hat{AMN}=\hat{ADC}\)
=>\(\hat{NDC}+\hat{NMC}=180^0\)
=>NMCD là tứ giác nội tiếp