ta có :

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của O trên AB và CD

Tính được OH = MK = 3cm

OD = OB = 3 10 cm

Từ đó tính được OK =  41 cm

Kẻ OK⊥AB tại K và OH⊥CD tại H

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

=>HC=HD=14/2=7(cm)

ΔOAB cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của AB

=>\(KA=KB=\frac{18}{2}=9\left(\operatorname{cm}\right)\)

DM+MH=DH

=>MH=DH-DM=7-4=3(cm)

Xét tứ giác OKMH có \(\hat{OKM}=\hat{OHM}=\hat{KMH}=90^0\)

nên OKMH là hình chữ nhật

=>OK=MH=3cm

ΔOKB vuông tại K

=>\(OK^2+KB^2=OB^2\)

=>\(R^2=9^2+3^2=81+9=90\)

=>\(R=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\) (cm)

b: d(O;AB)=OK=3cm

ΔOHD vuông tại H

=>\(OH^2+HD^2=OD^2\)

=>\(OH^2=\left(3\sqrt{10}\right)^2-7^2=90-49=41\)

=>\(OH=\sqrt{41}\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>d(O;CD)=\(\sqrt{41}\) (cm)

CD=IC+ID

=2+14

=16(cm)

Kẻ OH⊥AB tại H và OK⊥CD tại K

=>OH,OK lần lượt là khoảng cách từ O đến các dây AB,CD
mà AB=CD

nên OH=OK

ΔOCD cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của CD

=>KC=KD=CD/2=8(cm)

CI+IK=CK

=>IK=8-2=6(cm)

Xét tứ giác OHIK có \(\hat{OHI}=\hat{OKI}=\hat{HIK}=90^0\)

nên OHIK là hình chữ nhật

Hình chữ nhật OHIK có OH=OK

nên OHIK là hình vuông

=>OH=OK=IK=6cm

=>d(O;AB)=d(O;CD)=6cm

a: Kẻ đường kính AH của (O)

Xét (O) có

ΔABH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔABH vuông tại B
=>AB⊥BH

mà AB⊥CD

nên BH//CD
=>\(\hat{HBC}+\hat{BCD}=180^0\) (1)

BHDC nội tiếp

=>\(\hat{HBC}+\hat{HDC}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Xét tứ giác BHDC có

BH//DC

\(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Do đó: BHDC là hình thang cân

=>BC=HD; CH=BD

ΔIBC vuông tại I

=>\(IB^2+IC^2=BC^2=DH^2\)

ΔIAD vuông tại I

=>\(IA^2+ID^2=AD^2\)

\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\)

\(=DH^2+AD^2=AH^2=4R^2\) không đổi

a) Xét (O) có

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BD}\)

\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{BD}\)

Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)(Hệ quả góc nội tiếp)

hay \(\widehat{IAD}=\widehat{ICB}\)

Xét ΔIAD và ΔICB có 

\(\widehat{IAD}=\widehat{ICB}\)(cmt)

\(\widehat{AID}=\widehat{CIB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAD\(\sim\)ΔICB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{ID}{IB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(IA\cdot IB=IC\cdot ID\)(đpcm)