Ta có :

MO là tia phân giác của góc (CMA) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

MO’ là tia phân giác của góc (DMA) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : MO ⊥ MO’ (tính chất hai góc kề bù)

Tam giác MOO’ vuông tại M có MA ⊥ OO’ (tính chất tiếp tuyến)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có :

M A 2 = OA.O’A = 4,5.2 = 9 ⇒ MA = 3 (cm)

Mà MA = 12 CD ⇒ CD = 2.MA = 2.3 = 6 (cm)

a: Kẻ AI là tiếp tuyến chung tại A của (O) và (O')(I∈CD)

Xét (O) có

IA,IC là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IC và IO là phân giác của góc CIA

Xét (O') có

IA,ID là các tiếp tuyến

Do đó: IA=ID và IO' là phân giác của góc AID

TA có: IA=IC

IA=ID

Do đó: ID=IC

=>I là trung điểm của CD

=>CD=2AI

Xét ΔACD có

AI là đường trung tuyến

\(AI=\frac{CD}{2}\)

Do đó: ΔACD vuông tại A

=>\(\hat{CAD}=90^0\)

b: IO là phân giác của góc CIA

=>\(\hat{CIA}=2\cdot\hat{OIA}\)

Ta có: IO' là phân giác của góc AID

=>\(\hat{AID}=2\cdot\hat{AIO^{\prime}}\)

Ta có: \(\hat{CIA}+\hat{DIA}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{OIA}+\hat{O^{\prime}IA}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{OIO^{\prime}}=180^0\)

=>\(\hat{O^{\prime}IO}=90^0\)

Xét ΔOIO' vuông tại I có IA là đường cao

nên \(IA^2=AO\cdot AO^{\prime}\)

=>\(IA^2=4,5\cdot2=9=3^2\)

=>IA=3(cm)

I là trung điểm của CD

=>CD=2IA=6(cm)

Kẻ tiếp tuyến chung tạ IA cắt CD tại M

Trong đường tròn (O) ta có:

MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O’) ta có :

MA = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra : MA = MC = MD = 12 CD

Tam giác ACD có đường trung tuyến AM ứng với cạnh CD bằng nửa cạnh CD nên tam giác ACD vuông tại A

Suy ra : 

Kẻ O’H ⊥ OA; O’K ⊥ OC

OH = 4; OK = 8

Đặt CD = x => AB = 2x

O O ' 2 = 64 + x 2

và  O O ' 2 = 16 + 4 x 2

=> x = 4 => OO' =  80 cm

Ta có:

BM = MA

CM = MA

( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ BC = BM + MC = 2MA

Xét tam giác OMO’ vuông tại M có MA là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OMO’ có:

A M 2  = OM.O'M = 16.9 = 144 ⇒ AM = 12cm

⇒ BC = 2.12 = 24cm

Khi 2 đường tròn tiếp xúc ngoài tại và BC là tiếp tuyến chung thì OO' bằng BC nên BC=R+r