Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét tứ giác APOQ có \(\hat{OPA}+\hat{OQA}=90^0+90^0=180^0\)
nên APOQ là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
\(\hat{APN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến PA và dây cung PN
\(\hat{PMN}\) là góc nội tiếp chắn cung PN
Do đó: \(\hat{APN}=\hat{PMN}\)
Xét ΔAPN và ΔAMP có
\(\hat{APN}=\hat{AMP}\)
góc PAN chung
Do đó: ΔAPN~ΔAMP
=>\(\frac{AP}{AM}=\frac{AN}{AP}\)
=>\(AP^2=AM\cdot AN\)
Xét tứ giác APOQ có APO=90 và AQO=90
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác APOQ nt
Ta thấy MP//QA nên NAK=NMP(2 góc slt)
mà NMP=\(\frac{1}{2}\stackrel\frown{PN}\) =NPA(góc nội tiếp )
từ đó ta được NAK=NPA
Xét tam giác KAN và KPA có PKA chung
KPA=NAK(cmt)
nên tam giác KAN đồng dạng với KPA
suy ra đpcm
b.Ta thấy QS là đường kính của (O;R),AQ là tiếp tuyến nên AQ vuông góc với QS
mà AQ//PM nên PM vuông góc với QS
mặt khác PM là dây cung QS là đường kính lại vuông góc với PM nên S là điểm chính giữa dây cung PM
Hay \(\stackrel\frown{PS}=\stackrel\frown{SM}\)
suy ra đpcm
Xét (O) có góc PMN = góc APN ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn cung PN)
Lại có PM//AQ(gt) =>góc PMN= góc MAQ
=>góc APK= góc NAK
Xét 2 tam gia KAP và KNA có:
\(\left\{{}\begin{matrix}gocAKPchung\\gocAPK=NAK\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
=>2 tam giác KAP và KNA đồng dạng (gg)
=>đpcm
a: Xét tứ giác APOQ có \(\hat{APO}+\hat{AQO}=90^0+90^0=180^0\)
nên APOQ là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\hat{NPA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến PA và dây cung PN
\(\hat{PMN}\) là góc nội tiếp chắn cung PN
Do đó: \(\hat{NPA}=\hat{PMN}\)
mà \(\hat{PMN}=\hat{KAN}\) (hai góc so le trong, AK//MP)
nên \(\hat{KAN}=\hat{KPA}\)
Xét ΔKAN và ΔKPA có
\(\hat{KAN}=\hat{KPA}\)
góc NKA chung
Do đó:ΔKAN~ΔKPA
=>\(\frac{KA}{KP}=\frac{KN}{KA}\)
=>\(KA^2=KN\cdot KP\)
