* Cách dựng

- Dựng A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn

- Dựng đường thẳng x là trung trực của A’B

- Gọi giao điểm của đường thẳng x và đường tròn (O) là D

- Dựng đường kính COD

* Chứng minh

Ta có: OA = OA’ và OD = OC

Suy ra tứ giác ACA’D là hình bình hành

Suy ra: AC = A’D

Lại có: A’D = BD (tính chất đường trung trực)

Suy ra: AC = BD

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC và OA là phân giác của góc BOC

ΔOBC cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥BC tại A

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại B

=>BC⊥BD

mà OA⊥BC

nên OA//BD

b: Xét (O) có

MB,ME là các tiếp tuyến

Do đó: MB=ME và OM là phân giác của góc BOE

Xét (O) có

NE,NC là các tiếp tuyến

Do đó: NE=NC và ON là phân giác của góc EOC

Xét ΔBAO vuông tại B có cos BOA=\(\frac{OB}{OA}=\frac12\)

nên \(\hat{BOA}=60^0\)

OA là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BOA}=2\cdot60^0=120^0\)

ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

=>\(BA=R\sqrt3\)

OM là phân giác của góc BOE

=>\(\hat{BOE}=2\cdot\hat{MOE}\)

ON là phân giác của góc COE

=>\(\hat{COE}=2\cdot\hat{EON}\)

Ta có: \(\hat{BOE}+\hat{COE}=\hat{BOC}\)

=>\(\hat{BOC}=2\left(\hat{MOE}+\hat{NOE}\right)=2\cdot\hat{MON}\)

=>\(\hat{MON}=\frac{120^0}{2}=60^0\)

Chu vi tam giác AMN là:

AM+MN+AN

=AM+ME+AN+NE

=AM+MB+AN+NC

=AB+AC

=2AB

\(=2R\sqrt3\)

a: Xét tứ giác ABOC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔBCD có

O,H lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>OH là đường trung bình của ΔBCD

=>CD=2OH

a: Xét (O) có

AB là tiếp tuyến

AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA⊥BC

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại B

=>BC⊥BD

mà OA⊥BC

nên OA//BD

c: Gọi H là giao điểm của BC và OA

OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại H và H là trung điểm của BC

ΔOBA vuông tại B

=>\(BO^2+BA^2=OA^2\)

=>\(OA^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>OA=10(cm)

Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot OA=BO\cdot BA\)

=>\(BH=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

H là trung điểm của BC

=>\(BC=2\cdot BH=9,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: ΔODE cân tại O

mà OK là trung tuyến

nên OK vuông góc DE

góc OKA=góc OBA=góc OCA=90 độ

=>O,K,C,A,B cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét ΔACE và ΔADC có

góc ACE=góc ADC

góc CAE chung

=>ΔACE đồng dạng với ΔADC

=>AC/AD=AE/AC

=>AC^2=AD*AE

c: Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHF vuông tại H có

góc O chung

=>ΔOKA đồng dạng với ΔOHF

=>OK/OH=OA/OF

=>OK*OF=OH*OA=OE^2=OD^2

=>FD là tiếp tuyến của (O)