Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R),hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H (\(D\in BC,E\in AC,AB< AC\))

a. Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE nội tiếp 

b. Chứng minh OC vuông góc DE

c. CH cắt AB tại F. C/m:\(AH.AD+BH.BE+CH.CF=\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{2}\)

d. Đường phân giác AN của góc BAC cắt BC tại N, cắt (O) tại K (K khác A).Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CAN .C/m: OK và CI cắt nhau tại điểm thuộc (O).

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Điểm I nằm giữa A và O sao cho AI=23 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I . Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN (C≠M,N,B). AC cắt MN tại E .

a . CMR tứ giác IECB nội tiếp được .

b . CMR : ΔAME~ΔACMvà AM² = AE . AC .

c . Hãy xác định vị trí điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất .

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BC ( D khác B và C). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung AB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.

a) C/m: Tứ giác AIPK nội tiếp và  \(\frac{PK}{PD}=\frac{QB}{QA}\)

b) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC tại E. Cmr khi D di chuyển trên BC thì \(\frac{CD}{CE}\) không đổi.

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định . Điểm I nằm giữa A và O sao cho \(AI=\frac{2}{3}AO\). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I . Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN \(\left(C\ne M,N,B\right)\). AC cắt MN tại E .

a . CMR tứ giác IECB nội tiếp được .

b . CMR : \(\Delta AME~\Delta ACM\)và AM² = AE . AC .

c . Hãy xác định vị trí điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất .