Kẻ OH ⊥ CD, OK ⊥ EF

Vì tứ giác OKIH có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Ta có: CD = EF (gt)

Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Suy ra tứ giác OKIH là hình vuông.

Ta có:

CD = CI + ID = 2 + 14 = 16(cm)

HC = HD = CD/2 = 8 (cm) (đường kính dây cung)

IH = HC - CI = 8 - 2 = 6 (cm)

Suy ra: OH = OK = 6 (cm) (OKIH là hình vuông)

Kẻ OH⊥EF tại H và OK⊥CD tại I

Xét (O) có

EF,CD là các dây

OH,OK lần lượt là khoảng cách từ O đến các dây EF,CD

EF=CD

Do đó: OH=OK

Xét tứ giác OHIK có \(\hat{OHI}=\hat{OKI}=\hat{HIK}=90^0\)

nên OHIK là hình chữ nhật

Hình chữ nhật OHIK có OH=OK

nên OHIK là hình vuông

IC+ID=CD
=>CD=2+14=16(cm)

ΔOCD cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của CD

=>CK=KD=16/2=8(cm)

CI+IK=CK

=>IK=8-2=6(cm)

=>OH=OK=IK=6(cm)

=>d(O;EF)=d(O;CD)=6cm

ta có :

Gọi OH,OK là khoảng cách từ O đến mỗi dây

Ta có: OH = OK = 1cm

Tính được R =  10 cm

Kẻ OK⊥AB tại K và OH⊥CD tại H

=>OK,OH lần lượt là khoảng cách từ O đến AB và từ O đến CD

Theo đề, ta có: OH=3cm

ΔOAB cân tại O

mà OK là đường cao

nên K là trung điểm của AB

=>\(KA=KB=\frac82=4\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOKA vuông tại K

=>\(OK^2+KA^2=OA^2\)

=>\(OK^2=5^2-4^2=25-16=9=3^2\)

=>OK=3(cm)

Xét tứ giác OKIH có \(\hat{OKI}=\hat{OHI}=\hat{KIH}=90^0\)

nên OKIH là hình chữ nhật

Hình chữ nhật OKIH có OK=OH

nên OKIH là hình vuông

=>OK=KI=IH=OH=3cm

Xét (O) có

AB,CD là các dây

d(O;AB)=d(O;CD)

Do đó: AB=DC

=>DC=8(cm)

ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD
=>HC=HD=CD/2=4(cm)

HI+IC=HC

=>IC=4-3=1(cm)

CI+ID=CD

=>ID=8-1=7(cm)

a: Kẻ đường kính AH của (O)

Xét (O) có

ΔABH nội tiếp

AH là đường kính

Do đó: ΔABH vuông tại B
=>AB⊥BH

mà AB⊥CD

nên BH//CD
=>\(\hat{HBC}+\hat{BCD}=180^0\) (1)

BHDC nội tiếp

=>\(\hat{HBC}+\hat{HDC}=180^0\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Xét tứ giác BHDC có

BH//DC

\(\hat{BCD}=\hat{HDC}\)

Do đó: BHDC là hình thang cân

=>BC=HD; CH=BD

ΔIBC vuông tại I

=>\(IB^2+IC^2=BC^2=DH^2\)

ΔIAD vuông tại I

=>\(IA^2+ID^2=AD^2\)

\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\)

\(=DH^2+AD^2=AH^2=4R^2\) không đổi