Lời giải:
a) Ta có:
$\widehat{MAK}=\widehat{ACE}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nt chắn cung đó)
$AC\parallel MB$ nên $\widehat{ACE}=\widehat{EMK}$ (so le trong)
$\Rightarrow \widehat{MAK}=\widehat{EMK}$
Xét tam giác $MAK$ và $EMK$ có:
$\widehat{MAK}=\widehat{EMK}$ (cmt)
$\widehat{K}$ chung
$\Rightarrow \triangle MAK\sim \triangle EMK$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{MK}{AK}=\frac{EK}{MK}\Rightarrow MK^2=AK.EK$
b)
Hoàn toàn tương tự, dễ thấy $\triangle KEB\sim \triangle KBA$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{KE}{KB}=\frac{KB}{KA}\Rightarrow KB^2=AK.EK$
Kết hợp với phần 1) suy ra $KB^2=MK^2\Rightarrow KB=MK$ (đpcm)
a) Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Suy ra: M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn(đpcm)
a; Xét tứ giác MAOB có \(\hat{MAO}+\hat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
\(\hat{MAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AD
\(\hat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD
Do đó: \(\hat{MAD}=\hat{ACD}\)
mà \(\hat{ACD}=\hat{EMD}\) (hai góc so le trong, AC//MB)
nên \(\hat{EMD}=\hat{EAM}\)
Xét ΔEMD và ΔEAM có
\(\hat{EMD}=\hat{EAM}\)
góc MED chung
Do đó: ΔEMD~ΔEAM
=>\(\frac{EM}{EA}=\frac{ED}{EM}\)
=>\(EM^2=ED\cdot EA\)
c: Xét (O) có
\(\hat{EBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BE và dây cung BD
\(\hat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\hat{EBD}=\hat{BAD}\)
Xét ΔEBD và ΔEAB có
\(\hat{EBD}=\hat{EAB}\)
góc BED chung
Do đó: ΔEBD~ΔEAB
=>\(\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EB}\)
=>\(EB^2=ED\cdot EA\)
=>\(EB^2=EM^2\)
=>EB=EM
=>E là trung điểm của MB
Bạn xem lại đề giúp mình nha, vì đề ko có dữ kiện nào liên quan tới điểm C,D hết
1: góc MAO+góc MBO=180 độ
=>MAOB nội tiếp
2: Xét ΔIBF và ΔIAB có
góc IBF=góc IAB
góc BIF chung
=>ΔIBF đồng dạng với ΔIAB
=>IB/IA=IF/IB
=>IB^2=IA*IF
M A B E C m K
a/
Ta có
\(\widehat{mAC}=\widehat{AMK}\) (góc đồng vị) (1)
sđ\(\widehat{mAC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)
sđ\(\widehat{AEC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (góc nội tiếp đường tròn) (3)
\(\widehat{AEC}=\widehat{MEK}\) (góc đối đỉnh) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{AMK}=\widehat{MEK}\) (*)
Ta có
\(\widehat{ACE}=\widehat{EMK}\) (góc so le trong) (5)
sđ\(\widehat{ACE}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (góc nội tiếp đường tròn)(6)
sđ\(\widehat{MAK}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (7)
Từ (5)' (6) và (7) \(\Rightarrow\widehat{MAK}=\widehat{EMK}\) (**)
Từ (*) và (**) => tg AMK đồng dạng với tg MEK
\(\Rightarrow\frac{MK}{EK}=\frac{AK}{MK}\Rightarrow MK^2=AK.EK\left(dpcm\right)\)
b/
Ta có
sđ\(\widehat{KAB}=\frac{1}{2}\) sđ cung BE (góc nội tiếp đường tròn) (1)
sđ\(\widehat{EBK}=\frac{1}{2}\) sđ cung BE ( góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{EBK}\)
Xét tam giác ABK và tam giác EBK có
\(\widehat{KAB}=\widehat{EBK}\) (cmt)
\(\widehat{AKB}\) chung
=> tam giác AKB đồng dạng với tam giác EBK
\(\Rightarrow\frac{KB}{EK}=\frac{AK}{KB}\Rightarrow KB^2=AK.EK\)
Từ kết quả của câu a \(\Rightarrow MK^2=KB^2\Rightarrow MK=KB\left(dpcm\right)\)
M A B C E K
a)△AMK~△MEK( Chung góc K và góc MAK=góc ACE=góc KME)
suy ra AK/MK=MK/EK suy ra đpcm
b)△AKB~△BKE(Chung góc K và góc KAB= góc KBE)
suy ra AK/BK=KB/KE suy ra KB2=AK.KE
kết hợp câu a) suy ra đpcm.
Do MB//AC NÊN BAC = ACM (1) lại có ACM = ACE = MAE ( cùng chắn cung AE) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔKME~ΔKAM (g.g) => MK/AK = EK/MK hay MK^2= AK.EK
Ta thấy EAB = EBK ( cùng chắn BE)
Từ đó tam giác EBK ~ tam giác BAK (g.g)
=> BK/AK =EK/BK hay BK^2 = AK.EK (4)
Từ (3) và (4) suy ra MK^2 = KB^2 nghĩa là MK =KB (đpcm)
a/
Ta có
ˆmAC=ˆAMK (góc đồng vị) (1)
sđˆmAC=12 sđ cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)
sđˆAEC=12 sđ cung AC (góc nội tiếp đường tròn) (3)
ˆAEC=ˆMEK (góc đối đỉnh) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ˆAMK=ˆMEK (*)
Ta có
ˆACE=ˆEMK (góc so le trong) (5)
sđˆACE
Đúng(0)
a, ta có :
a)
ta có: góc mAC=gócAMK ( đvị ) (1)
sđ cung mAC=1/2 sđ cung AC ( góc giữa tiếp tuyến và dây cung ) (2)
sđ cung AEC=1/2 sđ cung AC ( góc nội tiếp đường tròn ) (3)
gócAEC=gócMEK ( đối đỉnh ) (4)
từ (1), (2),(3) và (4) => góc AMK =gócMEK (*)
ta có: gócAEC=gócEMK ( góc slt ) (5)
sđ cung ACE=1/2 sđ cung AE ( góc nt đg tròn ) (6)
sđ cung MAK=1/2 cung AE ( góc giữa tiếp tuyến và dây cung ) (7)
từ (5), (6) và (7) => góc MAC= gócEMK (**)
từ (*) và (**) => tgiacAMK ~ tgiacMEC
=> MK/EK=AK/MK
=> MK2 =AK.EK ( đpcm )
b)
ta có:
sđ cungKAB=1/2sđ cung BE ( góc nt đg tròn ) (1)
sđ cung EBK=1/2sđ cung BE ( góc giữa tiếp tuyến và dây cung ) (2)
từ (1) và (2) =>gócKAB=gócEBK
xét tgiac ABK và tgiac EBK có:
gócKAB=gócEBK (cmt)
gócAKB chung
=> tgiacABK~tgiacEBK (g.g)
=> KB/EK=AK/KB
=> KB2 =EK.AK
từ kqua phần a => MK2=KB2
=> MK=KB ( đpcm )
a) Xét (O) có: AC//MB(gt)⇒góc EMK=góc MCA(slt)
mà: góc MCA và góc MAK đề chắn cung AE⇒góc MAK=góc MCA
⇒góc EMK= góc MAK
Xét △MEK và △AMK có: góc K chung và góc EMK= góc MAK(cmt)
⇒△MEK \(\sim\) △AMK( g-g)⇒\(\dfrac{MK}{AK}=\dfrac{EK}{MK}\)
⇒MK2=EK.AK
b)Có: góc EBK và góc KAB cùng chắn cung EB⇒góc EBK= góc KAB
Xét △AKB và △BKE có: góc K chung và góc EBK = góc BAK(cmt)
⇒△AKB \(\sim\)△BKE(g-g)⇒\(\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{BK}{EK}\)
⇒BK2=AK.EK⇒BK=MK A B M C E K
a) Xét (O) có gócACE=gócMAE 1/2 sđ cung AE (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AE) (1)
a) Xét (O) có AC // BM(gt) → góc ACE = góc BMC (slt) (2)
Từ (1) và (2) → góc MAE = góc BMC
Xét △ AMK và △ MEK có góc K1 hay góc MKE hoặc góc MKA chung; góc MAE hay MAK = góc BMC hay góc EMK(cmt) → △ AMK \(\sim\) △ MEK(g-g)→MK/AK=EK/MK(tương ứng)
⇒ MK2 = AK.EK(đpcm)
b) Có góc nội tiếp KAB chắn cung BE ; góc tạo bởi tiếp tuyến MB và dây BE(gt)→ góc KAB = góc KBE = 1/2 sđ cung BE
Xét △ BAK và △ EBK có góc KAB = góc KBE(cmt) ; góc AKB hay góc EKB chung ;
→ △ BAK \(\sim\) △ EBK(g-g) → BK/EK=AK/BK(tương ứng)→BK2=AK.EK(1)
Mặt khác MK2 = AK.EK(cmt)(2) Từ (1),(2) → BK2 = MK2 ⇒ MK = KB (đpcm)
a)Xét (O) có AM là tiếp tuyến AC là dây
=> góc MAE = góc ACE ( hệ quả)M
MB // AC ( gt) => góc EMK = góc ACM ( so le trong)
mà góc MAE = góc ACM ( cmt) => góc EMK = góc ACM
Xét \(\Delta\)MKE và \(\Delta\)AKM có
góc K chung
góc EMK = góc ACM (cmt) } =>\(\Delta\)MKE \(\sim\) \(\Delta\) AKM (g.g)
=> \(\dfrac{MK}{AK}\)=\(\dfrac{KE}{MK}\)=> MK2
=AK.KE
b) Xét (O) có EM là dây, KB là tiếp tuyến
=> góc EAB = góc EBK ( hệ quả )
Xét ΔKEB và ΔKBA có
góc K chung
góc EBK =góc BAK ( cmt) } => ΔKEB\(\sim\) ΔKBA ( g.g)
=> \(\dfrac{KE}{KB}\)=\(\dfrac{KB}{KA}\)=> KB2 = AK.KE
mà MK2 = AK.KE (cmt) => MK =KB
a)Có AC//MB (gt) \(\Rightarrow\) góc BMC= góc ACE (so le trong)
mà MAE= ACE ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AE)
\(\Rightarrow\) góc MAK= góc BMC hay góc MAK= góc KME
Xét tam giác MKE và tam giác AKM có
góc MAK= góc KME
góc MKA chung
\(\Rightarrow\) tam giác MKE\(\sim\) tam giác AKM (g_g)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{MK}{AK}\)= \(\dfrac{EK}{MK}\) (tương ứng)
\(\Rightarrow\)MK2 = AK.EK
b) Có góc KAB = góc KBE ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EB)
Xét Tam giác KAB và tam giác KBE có
KAB = góc KBE (cmt)
góc AKB chung
\(\Rightarrow\) tam giác KAB \(\sim\) tam giác KBE (g_g)
\(\dfrac{AK}{BK}\)= \(\dfrac{BK}{EK}\) ( tương ứng) \(\Rightarrow\) BK^2
=AK.EK mà MK2 = AK.EK \(\Rightarrow\) MK= BK (đpcm
BK^2=AK.EK.
\dfrac{MK}{AK}=\dfrac{EK}{MK}.
Xét (o), có MB// AC (gt)
góc ˆmAC=ˆgóc AMKmAC^=AMK^ (góc đồng vị) (1)
sđˆ góc mAC=12mAC^=12 sđ cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)
sđˆ góc AEC=12AEC^=12 sđ cung AC (góc nội tiếp đường tròn) (3)
góc ˆ AEC=gócˆMEKAEC^=MEK^ (góc đối đỉnh) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ˆgóc AMK=góc ˆMEK⇒AMK^=MEK^
Ta có
góc ˆACE= góc ˆEMKACE^=EMK^ (góc so le trong) (5)
sđ góc ˆACE
Đúng(0)
Xét (O) có: MAK là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AE
ACE là góc nội tiếp chắn cung AE
=> MAK = ACE (hệ quả)
Có AC // BM (gt) => EMK = ACE (so le trg)
=> MAK = ACE
Xét ∆MKE và ∆ AKM có
MAK = ACE (cmt)
AKM chung
=> ∆≈∆ (g.g)
=>MK/AK = EK/MK => MK2=AK.EK
b) Xét (O) có : KAB là góc nội tiếp chắn cung EB
EBK là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung EB
=>EBK = KAB (hệ quả)
Xét ∆ABK và ∆BEK có:
KAB = EBK(cmt)
AKB chung
=> ∆≈∆ (g.g)
=> BK/EK = AK/BK
=>BK2=AK.EK
Mà MK2=AK.EK
=>BK2=MK2. => BK=MK
a) Xét (O) có: AC//MB(gt)⇒EMK=MCA(slt)
mà: MCA và MAK đề chắn cung AE⇒ MAK = MCA ⇒ EMK = MAK
Xét △MEK và △AMK có:
K chung
EMK= MAK(cmt)
\(\Rightarrow\Delta MEK\sim\Delta AMK\) (gg)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{MK}{AK}\)=\(\dfrac{EK}{MK}\)
b)Có: EBK và KAB cùng chắn cung EB⇒ EBK= KAB
Xét △AKB và △BKE có:
K chung
EBK = BAK(cmt)
\(\Rightarrow\Delta AKB\sim\Delta BKE\)(gg)
\(\Rightarrow\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{BK}{EK}\)
\(\Rightarrow\)BK\(^2\) =AK.EK
A)Viet dang thuc ve dang MK/AK=EK/MK
B) chung minh BK2= AK.EK
B M A C E K
A, tam giác AMK và tam giác MEK có
góc K chung
Góc MAK= góc ACE= góc KME
suy ra tam giác AMK đồng dạng tam giác MEK
Suy ra AK/MK=MK/EK
B,xét tam giác AKB và tam giác BKE có
góc K chung
góc KAB=góc KBE
suy ra tam giác AKB đồng dạn tam giác BKE
Suy ra AK/BK=KB/KE
suy ra KB bình=AK.KE
mà AK/MK=MK/EK(cmt)
suy ra MK=KB
a/
Ta có
ˆmAC=ˆAMKmAC^=AMK^ (góc đồng vị) (1)
sđˆmAC=12mAC^=12 sđ cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)
sđˆAEC=12AEC^=12 sđ cung AC (góc nội tiếp đường tròn) (3)
ˆAEC=ˆMEKAEC^=MEK^ (góc đối đỉnh) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ˆAMK=ˆMEK⇒AMK^=MEK^ (*)
Ta có
ˆACE=ˆEMKACE^=EMK^ (góc so le trong) (5)
sđˆACE
Đúng(0)
a) Xét (O) có AC//MB (gt)
⇒EMK=MCA(slt)
mà MCA và MAK đều chắn cung AE
⇒MAK= MCA
⇒EMK=MAK
Xét tam giác MEK và AMK có:
K chung
EMK=MAK (cmt)
⇒ tam giác MEK đồng dạng với tam giác AMK(gg)
⇒\(\dfrac{MK}{AK}=\dfrac{EK}{MK}\)\(\)
b) Có EBK và KAB cùng chắn cung EB⇒ EBK=KAB
Xét tam giác AKB và tam giác BKE có:
K chung
EBK=BAK(cmt)
⇒tam giác AKB \(\sim\) tam giác BKE(gg)
⇒\(\dfrac{AK}{BK}=\dfrac{BK}{EK}\)
⇒\(^{BK^2}\)=AK.EK