A B C D E M J O I

a) Ta có : 

\(AC^2+BD^2=MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\)

\(=\left(MA^2+MD^2\right)+\left(MB^2+MC^2\right)=AD^2+BC^2\)

Kẻ đường kính CE ta có \(\widehat{CDE}=90^0\) hay \(CD\perp DE\)

\(\Rightarrow DE//AB\)nên tứ giác ABED là hình thang cân

\(\Rightarrow AD=BE\)

Ta có : \(AD^2+BC^2=BE^2+BC^2=CE^2=4R^2\)không đổi

b ) \(IB=IC=IM\)nên \(IO^2+IM^2=OC^2-IM^2+IM^2=R^2\)

Gọi J là trung điểm của MO . Áp dụng công thức đường trung tuyến trong \(\Delta IMO\)

Ta có : \(IJ=\sqrt{\frac{IO^2+IM^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}=\sqrt{\frac{R^2}{2}-\frac{MO^2}{4}}\)( không đổi vì O,M cố định )

Do đó I chạy trên đường tròn tâm J bán kính IJ không đổi.

Chúc bạn học tốt !!!

\(MA.MB=MC.MD\Leftrightarrow\Delta MAC\approx\Delta MDB\left(G-G\right)\)

Duong thang OM cat duong tron tai E,F 

chung minh tuong tu ta co \(MA.MB=ME.MF=\left(R-d\right)\left(R+d\right)=R^2-d^2\)

Upin & Ipin bn có thể giải chi tiết ra hộ mk đc ko ?

Xin lỗi các bạn. Đề bài đúng phải là so sánh BD với \(\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow OE\perp AB\)

Do D là trung điểm BC \(\Rightarrow BD=\dfrac{1}{2}BC\) (1)

Do C đối xứng A qua M \(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}AC\)

Do E là trung điểm AB \(\Rightarrow AE=\dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow AM+AE=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}AB\Rightarrow ME=\dfrac{1}{2}BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow BD=ME\)

Trong tam giác vuông OAE, do OA là cạnh huyền và OE là cạnh góc vuông \(\Rightarrow OE< OA\Rightarrow OE< r\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(ME^2=OM^2-OE^2=d^2-OE^2>d^2-r^2\)

\(\Rightarrow BD^2>d^2-r^2\Rightarrow BD>\sqrt{\left(d-r\right)\left(d+r\right)}\)

theo định lý Pytago ta có :

\(OM=\sqrt{OA^2-AM^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\frac{R}{2}=const\)\

Vậy khi AB di chuyển thì M thuộc đường tròn tâm O bán kính R/2

Em xin lỗi anh ạ,em mới học lớp 8 thôi

• Vẽ đường tròn (O):
  • Chọn tâm \(O\), vẽ đường tròn bất kỳ bán kính.
• Chọn điểm A nằm ngoài đường tròn (O):
  • Chọn một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn, sao cho \(A O > R\) (R là bán kính đường tròn).
• Dựng hai tiếp tuyến từ A đến đường tròn (O):
  • Dựng hai tiếp tuyến \(A B\) và \(A C\) từ \(A\) đến đường tròn, trong đó \(B\) và \(C\) là các tiếp điểm (chỉ có 2 tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn).
  • Tính chất: \(A B = A C\), và \(O B \bot A B\), \(O C \bot A C\).
• Dựng đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm D và E:
  • Dựng một đường thẳng bất kỳ đi qua \(A\) và cắt đường tròn tại hai điểm \(D\) và \(E\), sao cho điểm \(D\) nằm giữa \(A\) và \(E\) (nghĩa là thứ tự điểm trên đường thẳng là \(E - D - A\)).
• Xác định trung điểm M của đoạn BC:
  • Nối \(B\) và \(C\), rồi lấy trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(B C\).

Trên BC lấy I sao cho IC=IB

Ta có AM=MC=AC/2=20/2= 10 cm

Từ M kẻ MH vuông góc AB. Theo gt, ta được MH=8 cm

Áp dụng Pytago trong tam giác vuông AMH: AH²= AM² - MH² = 10² - 8²= 36 ----> AH=6 cm

có AM=MC ; IB=IC ---> MI=1/2AB=1/2 .24 =12 cm( đường TB)

Từ I kẻ IK vuông góc AB

có MI// AB( MI là đường trung bình) ; IK//MK (cùng vuông góc AB) 

---> MIKH là hình bình hành

---> MI=HK=12 cm; MH=IK=8 cm

BK= AB-AH-HK = 24-6-12=6 cm

Xét tam giác AMH và tam giác BIK:

     AH=BK=6 

     góc AHM= góc BKI= 90^O

      MH=IK=8

----> tam giác AMH=tam giác BIK(c.g.c)

----> góc MAH= góc IBK (cặp góc tương ứng) hay góc CAB= góc CBA

----> tam giác ABC cân tại C

b) có AM=MC=AC/2=10 cm ; IB=IC= BC/2 ; mà AC=BC (tam giáccân)

----> AM=MC=IB=IC=10 cm

Kéo dài CO cắt AB tại D

tam giác AOC có OA=OC (bán kính) --> tam giác AOC cân tại O

có OM là trung tuyến ---> OM vuông góc AC hay góc OMC=90^o

Tương tự với tam giác OCB được  OI vuông góc BC hay góc OIC=90^o

Xét tam giác vuông OMC và tam giác vuông OIC:

     MC=IC=10cm

    OC cạnh chung

--->tam giác OMC = tam giác OIC (ch.cgv)

--> góc MCO= góc ICO ---> CO hay CD là phân giác góc ACB của tam giác cân ABC --->

• CD vuông góc AB hay góc ADC=90^o
• AD=BD=AB/2 = 12 cm

Theo Pytago trong tam giác ACD: CD²= AC²-AD² = 20²-12² =256  ---> CD=16 cm

Đặt OC=OA=X --> OD= CD-OC = 16 - X

Theo Pytago tam giác AOD: AO²= OD²+AD²

                                                     ^<-->X²⁼ (16-X)² + 12²

                                                     ^<--> 16² -32X + X² +12² - X²=0

                                       <--> 400 - 32X=0

                                       <--> X= -400/-32= 12,5 cm

 Vậy bán kính đường tròn bằng 12,5 cm

tại sao bạn không kẻ đường cao CD. Như thế sẽ đỡ mất thời gian chứng minh