1: ΔOBC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥BC tại I

Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: OA là phân giác của góc MON

=>\(\hat{MOA}=\hat{NOA}\)

TA có: \(\hat{AIO}=\hat{AMO}=\hat{ANO}=90^0\)

=>A,I,O,M,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO

TA có: \(\hat{AIN}=\hat{AON}\) (AION nội tiếp)

\(\hat{AIM}=\hat{AOM}\) (AMIO nội tiếp)

mà \(\hat{AON}=\hat{AOM}\)

nên \(\hat{AIN}=\hat{AIM}\)

=>IA là phân giác của góc MIN

Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90^o = > 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25

=> AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

AM = AN => ∆AMN cân tại A => AMN = ANM

=> AIN = AIM => đpcm

Ta có AN ⊥  NO, MP  ⊥ NO, M ∉  AN => AN // MP

Do đó AMPN là hình bình hành ó AN = MP = 2x

Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM =>  A N N E = N O E M = > N E = 2 x 2 R  

TH 1.NE = NO – OE =>  2 x 2 R = R − R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 − R R 2 − x 2  

Đặt  R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 − R t ⇔ 2 t 2 − R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = − R t = R  

Do  t ≥ 0 ⇒ t = R ⇔ R 2 − x 2 = R ⇔ x = 0 ⇒ A ≡ B  (loại)

TH 2 NE = NO + OE =>  2 x 2 R = R + R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 + R R 2 − x 2  

Đặt R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 + R t ⇔ 2 t 2 + R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = R t = − R  

Do t ≥ 0 ⇒ 2 t = R ⇔ 2 R 2 − x 2 = R ⇔ x = R 3 2 = > A O = 2 R  (loại)

Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh

a, b, c HS tự làm

d, Gợi ý: G' ÎOI mà  I G ' I O = 1 3 => G' thuộc (G'; 1 3 R)

1, Xét $(O)$ có các tiếp tuyến $AM;AN$ 

suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o;AM=AN;AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

nên $\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^o$

suy ra tứ giác $AMON$ nội tiếp (tổng 2 góc đối =180 độ)

2, Ta có: $AM=AN⇒ΔAMN$ cân tại $A$
có đường phân giác $AO$
$⇒AO$ đồng thời là đường trung trực tam giác $AMN$

$⇒AO⊥MN$ tại $H$

3. Xét $ΔAMO$ vuông tại $M$

$MH$ là đường cao

Nên $AH.AO=AM^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét $(O)$ có: Tiếp tuyến $AM$

nên $\widehat{AMB}=\widehat{MCB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)

hay $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

Xét tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

$\widehat{A}$ chung

Nên  tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ đồng dạng (g.g)

suy ra $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{AC}$

nên $AM^2=AB.AC$

Từ đó suy ra $AH.AO=AB.AC$

a; Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN và OA là phân giác của góc MON

ΔOMN cân tại O

mà OA là đường phân giác

nên OA⊥MN tại H và H là trung điểm của MN

Xét (O) có

\(\hat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB

\(\hat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB

Do đó: \(\hat{AMB}=\hat{MCB}\)

Xét ΔAMB và ΔACM có

\(\hat{AMB}=\hat{ACM}\)

góc MAB chung

Do đó: ΔAMB~ΔACM

=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AM}\)

=>\(AB\cdot AC=AM^2\left(1\right)\)

Xét ΔAMO vuông tại M có MH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AB\cdot AC=AH\cdot AO=AM^2\)

b: \(AB\cdot AC=AH\cdot AO\)

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AO}\)

Xét ΔAHB và ΔACO có

\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AO}\)

góc HAB chung

Do đó: ΔAHB~ΔACO

=>\(\hat{AHB}=\hat{ACO}\)

mà \(\hat{AHB}+\hat{OHB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{OHB}+\hat{OCB}=180^0\)

=>BHOC là tứ giác nội tiếp

1) Trong (O) có BC là dây cung không đi qua O,có H là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\bot BC\Rightarrow\angle OHA=90\) mà \(\angle OMA=90\Rightarrow OMAH\) nội tiếp

2) Ta có: \(\Delta AMO\) vuông tại M có \(AO\bot MI\Rightarrow AM^2=AI.AO\)

1.

Theo giả thiết: \(H\) là trung điểm BC

\(\Rightarrow OH\perp BC\Leftrightarrow\widehat{OHA}=90^o\)

Lại có: \(AM\perp OM\Leftrightarrow\widehat{OMA}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OHA}+\widehat{OMA}=180^o\)

\(\Rightarrow AMOH\) nội tiếp 

Hay \(A,M,O,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính OA