Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
O A B C D E I
a) Xét \(\Delta\)BAE: Có đường trung tuyến AO (O thuộc BE) với AO=BO=EO=1/2BE
=> \(\Delta\)BAE vuông tại A hay EA vuông góc AB
Mà AB và CD vuông góc với nhau => AE//CD => Tứ giác AECD là hình thang (1)
Lại có: 4 điểm A;E;C;D cùng nằm trên (O;R) => ) thuộc trung trực của AE và CD (2)
Từ (1) VÀ (2) => Hình thang AECD có trục đối xứng => Tứ giác AECD là hình thang cân
=> AC=DE (2 đg chéo) (đpcm).
b) Do AB vuông góc CD tại I
Ta có: \(IA^2+IC^2=AC^2\)(Định lí Pytagorean)
\(IB^2+ID^2=BD^2\)(Định lí Pytagorean)
\(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=AC^2+BD^2\)
Vì \(AC=DE\)(cmt) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=DE^2+BD^2\)(3)
Chứng minh được \(\Delta\)BDE vuông tại D (Có trung truyến DO bằng 1/2 cạnh tương ứng BE)
\(\Rightarrow DE^2+BD^2=BE^2\)(4)
Thay (4) vào (3) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=BE^2\)(5)
R là bán kính của đường trond, BE là đường kính \(\Rightarrow BE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)(6)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=4R^2\) (đpcm).
c) Mình chưa nghĩ ra ^^
O A B C D E I
a) Ta thấy BE là đường kính của (O). Suy ra ^BAE chắn nửa đường tròn hay AB vuông góc AE
Do đó AE // CD. Mà AE,CD là hai dây của đường tròn (O) nên (AC = (DE tức AC = DE (đpcm).
b) Tương tự câu a, \(\Delta\)BED vuông tại D. Áp dụng ĐL Pytagoras ta có:
\(\left(IA^2+IC^2\right)+\left(IB^2+ID^2\right)=AC^2+BD^2=DE^2+BD^2=BE^2=4R^2\)(đpcm).
c) Áp dụng ĐL Pytagoras và hệ thức lượng trong đường tròn ta có:
\(AB^2+CD^2=\left(IA+IB\right)^2+\left(IC+ID\right)^2=\left(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2\right)+2\left(IA.IB+IC.ID\right)\)
\(=4R^2+4\left(R^2-OI^2\right)=8R^2-4OI^2\)(đpcm).
a) Xét ΔDAB có
DO là đường trung tuyến ứng với cạnh AB(O là trung điểm của AO)
DO là đường cao ứng với cạnh AB(gt)
Do đó: ΔDAB cân tại D(Định lí tam giác cân)
Suy ra: \(DA=DB\)(hai cạnh bên)
hay \(sđ\stackrel\frown{DA}=sđ\stackrel\frown{DB}\)
Xét (O) có
\(\widehat{AID}\) là góc nội tiếp chắn cung AD
\(\widehat{BID}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
mà \(sđ\stackrel\frown{DA}=sđ\stackrel\frown{DB}\)(cmt)
nên \(\widehat{AID}=\widehat{BID}\)
hay ID là tia phân giác của \(\widehat{AIB}\)(đpcm)
b) Xét (O) có
\(\widehat{AIB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{AIB}=90^0\)(Hệ quả góc nội tiếp)
hay \(\widehat{FIB}=90^0\)
Xét tứ giác BIFO có
\(\widehat{FOB}\) và \(\widehat{FIB}\) là hai góc đối
\(\widehat{FOB}+\widehat{FIB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: BIFO là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
hay B,I,F,O cùng thuộc 1 đường tròn(đpcm)
a) Xét (O;R) có:
\(\widehat{BCD}\)là góc nt chắn cung BC
\(\widehat{BAC}\)là góc nt chắn cung BC
\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BAC}=sđ\widebat{BC}\)
Vì dây \(AB\perp CD\)tại M nên \(\widehat{M}=90^o\)
Xét \(\Delta ACM\)và \(\Delta DBM\):
\(\hept{\begin{cases}\widehat{AMC}=\widehat{DMB}=90^o\\\widehat{BAC}=\widehat{BCD}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta ACM\infty\Delta DBM\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{DM}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow AM.MB=MC.DM\)
b) Vì \(\Delta ACM\infty DBM\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)
Xét \(\left(O;R\right):\)
\(\Delta CDE\)nt (O), cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta CDE\)vuông tại C\(\Rightarrow CD\perp CE\Rightarrow\widehat{DCE}=90^o\)
\(\Delta BDE\)nt \(\left(O\right),\)cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta BDE\)vuông tại B\(\Rightarrow\widehat{DBE}=90^o\)
Có\(\widehat{MAC}+\widehat{ACM}=90^o\Rightarrow\widehat{MAC}=90^o-\widehat{ACM}\)
Và \(\widehat{ABE}+\widehat{DBM}=90^o\Rightarrow\widehat{ABE}=90^o-\widehat{DBM}\)
Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)
Do \(AB\perp CD,CD\perp CE\Rightarrow AB//CE\)
Xét tg ABCE có:
\(AB//CE\)
\(\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)
\(\Rightarrow Tg\)ABCE là hthang cân
c) Áp dụng đ/lí Pi-ta-go lần lượt vào các \(\Delta AMC,\Delta BCM;\Delta BDM;\Delta ADM;\Delta BDE\)có:
\(AM^2=AC^2-CM^2\)(1)
\(MB^2=BC^2-CM^2\)(2)
\(MC^2=BC^2-BM^2\)(3)
\(MD^2=BD^2-BM^2\)(4)
\(DE^2=BD^2+BE^2\)(5)
Công từng vế của (1)(2)(3)(4) ta đc đẳng thức:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AC^2-CM^2+BC^2-CM^2+BC^2-BM^2+BD^2-BM^2\)
\(=AC^2+2BC^2-2CM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)
\(=AC^2+2BM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)(vì \(BM^2=BC^2-CM^2\))
\(=AC^2+BD^2\)
\(=BE^2+BD^2\)(vì AC=BE do ABCE là hthang cân)
\(=DE^2\)(c/m (5))
Mà DE là đường kính của (O) nên DE=2R\(\Rightarrow DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
Vậy \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\)có g/trị ko đổi khi M thay đổi trong (O)
a) ^EAB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^EAB = 900 hay AE⊥AB
Có AE⊥AB (cmt) và CD⊥AB (gt) nên AE//CD => Cung AC bằng cung DE hay AC = DE (đpcm)
b) ∆AIC và ∆BID vuông tại I nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = (IA2 + IC2) + (IB2 + ID2) = AC2 + BD2 = ED2 + BD2 = BE2 (∆EDB có ^EDB = 900 do nó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà BE2 = (2R)2 = 4R2 nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = 4R2 (đpcm)
a) ^EAB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^EAB = 900 hay AE⊥AB
Có AE⊥AB (cmt) và CD⊥AB (gt) nên AE//CD => Cung AC bằng cung DE hay AC = DE (đpcm)
b) ∆AIC và ∆BID vuông tại I nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = (IA2 + IC2) + (IB2 + ID2) = AC2 + BD2 = ED2 + BD2 = BE2 (∆EDB có ^EDB = 900 do nó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà BE2 = (2R)2 = 4R2 nên IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = 4R2 (đpcm)
a) Xét (O) có : góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
⇒ góc BAE = 90 độ.
⇒ AE vuông góc với AB tại A
Mà CD vuông góc với AB tại I (GT)
⇒AE// CD ( định lí từ vuông góc đến song song)
- Xét (O) có 2 cung AC và ED chắn 2 dây AE//CD.
⇒ cung AC = cung ED
⇒ AC = ED ( theo định lí giữa cung và dây cung )
b) CM được góc BDE = 90 độ
⇒ ED^2 + DB^2 = BE^2
⇒ AC^2 + ( IB^2 + ID^2 ) = ( 2R )^2 . ( vì ED = AC, định lí Pytago cho△BID vuông tại I )
⇒( IA^2 + IC^2 ) + ( IB^2 + ID^2 ) = 4R^2. ( định lí Pytago cho△ AIC vuông tại I )
⇒ Đcpcm
a,
Đường tròn tâm O có góc AEB là góc nộp tiếp chắn nữa đường tròn
nên góc AEB =90 độ nên AB vuông góc với AE,màAB vuông góc với CD
Suy ra AE song song với CD
đường tròn tâm O có AE song somg với CD
nên cung AC bằng cung ED
suy ra AC=ED
b,
có AB vuông góc với CD tại I
Nên tam giác AIC vuông tại I
nên AI2 +IC2=AC2
CHỨNG minh tương tự có ID2+IB2=BD2
Suy ra IA2+ IB2+IC2+ID2=AC2+BD2 =DE2+BD2,mà tam giác BED vuông tại D( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)nên DE2+BD2=BE2
SUY RA IA2+IB2+IC2+ID2=BE2=(2 R)2=4R2
ta CM được CD//AE ( cùng vuông góc CD)
=> cung AC=cung DE ( tính chất)
Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có
IA^2+IC^2=AC^2=DE^2
IB^2+ID^2=BD^2
từ 2 điều trên suy ra IA2+IB^2+IC^2+ID^2=DE^2+BD^2 = EB^2=(2R)^2=4R^2
IA^2+IC^2=AC^2=DE^2
a, Góc BAE=90 độ ( góc nt chắn nửa đường tròn)
=>AB vuông góc với AE tại A hay AI vuông góc với AE ( I thuộc AB) (1)
BI vuông góc với CD (2)
Từ (1) và (2) => AE//CD
=> cung AC = cung ED ( định lý)
=> AC = DE
b, AI vuông góc với CD tại I ( AB vuông góc CD)
=> Tam giác AIC vuông tại I
AI\(^2\)+ IC\(^2\)=AC\(^2\)
CMTT => ID\(^2\)+IB\(^2\)=BD\(^2\)
=> \(IA^2\)+\(IB^2\)+\(IC^2\)+\(ID^2\)=\(AC^2\)+\(BD^2\)=\(DE^2\)+\(BD^2\)
Mà tam giác BED vuông tại D (góc nt chắn nửa đường tròn) =>\(DE^2+BD^2=BE^2\)=>\(IA^2+IB^2+IC^2+ID^2=BE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
a) Ta có: \(\Delta\)ABE nội tiếp đường tròn (O), đường kính BE
=> \(\Delta ABE\) vuông tại A
=> \(AB\perp AE\)
mà \(AB\perp CD\) (GT)
=> AE // CD
Xét đường tròn (O) có: AE // CD (cmt)
=> cung AC = cung DE ( 2 cung nằm giữa 2 dây song song thì bằng nhau )
=> AC = DE ( liên hệ giữa cung và dây ) (đpcm)
b) \(\Delta AIC\) có: {\displaystyle \angle }
AIC = 90° ( do \(AB\perp CD\) )
=> IC2 + IA2 = AC2 ( Py-ta-go )
mà AC = DE ( câu a )
=> IC2 + IA2 = DE2 (1)
\(\Delta BID\) có: {\displaystyle \angle }
BID = 90° ( do \(AB\perp CD\))
=> IB2 + ID2 = BD2 (2)
Ta có: \(\Delta BDE\) nội tiếp đường tròn (O), đường kính BE
=> \(\Delta BDE\) vuông tại D
=> BD2 + ED2 = BE2 ( Py-ta-go ) (3)
Từ (1),(2),(3) => IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = BE2
=> IA2 + IB2 + IC2 + ID2= 4R2 ( do BE = 2R ) (đpcm)
a) Xét (O): có góc BAE bội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
=> góc BAE = 90 độ
=> AE vuông góc với AB tại A
Mad CD vuông góc với AB tại I
=> CD//AE ( định lí từ vuông góc tới song song )
Xét (O) có 2 cung AC với ED chắn 2 dây AE//CD
=> cung AC= cung ED
=> AC=ED
a) Xét (O) có : góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
⇒ góc BAE = 90 độ.
⇒ AE vuông góc với AB tại A
Mà CD vuông góc với AB tại I (GT)
⇒AE// CD ( định lí từ vuông góc đến song song)
- Xét (O) có 2 cung AC và ED chắn 2 dây AE//CD.
⇒ cung AC = cung ED
⇒ AC = ED ( theo định lí giữa cung và dây cung )
b) CM được góc BDE = 90 độ
⇒ ED^2 + DB^2 = BE^2
⇒ AC^2 + ( IB^2 + ID^2 ) = ( 2R )^2 . ( vì ED = AC, định lí Pytago cho△BID vuông tại I )
⇒( IA^2 + IC^2 ) + ( IB^2 + ID^2 ) = 4R^2. ( định lí Pytago cho△ AIC vuông tại I )
⇒ Đcpcm
a) Xét (O) có : góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
⇒ góc BAE = 90 độ.
⇒ AE vuông góc với AB tại A
Mà CD vuông góc với AB tại I (GT)
⇒AE// CD ( định lí từ vuông góc đến song song)
- Xét (O) có 2 cung AC và ED chắn 2 dây AE//CD.
⇒ cung AC = cung ED
⇒ AC = ED ( theo định lí giữa cung và dây cung )
b) CM được góc BDE = 90 độ
⇒ ED^2 + DB^2 = BE^2
⇒ AC^2 + ( IB^2 + ID^2 ) = ( 2R )^2 . ( vì ED = AC, định lí Pytago cho△BID vuông tại I )
⇒( IA^2 + IC^2 ) + ( IB^2 + ID^2 ) = 4R^2. ( định lí Pytago cho△ AIC vuông tại I )
⇒ Đpcm
a) Xét (O) có : góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
⇒ góc BAE = 90 độ.
⇒ AE vuông góc với AB tại A
Mà CD vuông góc với AB tại I (GT)
⇒AE// CD ( định lí từ vuông góc đến song song)
- Xét (O) có 2 cung AC và ED chắn 2 dây AE//CD.
⇒ cung AC = cung ED
⇒ AC = ED ( theo định lí giữa cung và dây cung )
b) CM được góc BDE = 90 độ
⇒ ED^2 + DB^2 = BE^2
⇒ AC^2 + ( IB^2 + ID^2 ) = ( 2R )^2 . ( vì ED = AC, định lí Pytago cho△BID vuông tại I )
⇒( IA^2 + IC^2 ) + ( IB^2 + ID^2 ) = 4R^2. ( định lí Pytago cho△ AIC vuông tại I ) (đpcm)
a)
a) Có BAE=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đt) =>EA vuông AB
,à CD cuông AB (gt)
=>AE//CD (từ vg->//)
=>Cung AC ằng cung DE (đl hai cung giữ hai đth //)=>AC=AE (đpcm)
b) Có ΔAIC và ΔBDI vuông ở I => IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = (IA2 +IC2) + (IB2 + ID2)= AC2 + BD2=ED2+BD2=BE2 (Pytago; góc EDB= 90 độ vì chắn nửa đt)
mà BE2 = (2R)2=4R2 nên IA2 + IB2 + IC2 +ID2 = 4R2 (đpcm)
a)
a.Xét tam giác EBD có:Eb là đường kính=>tam giác EDB vuông tại D
Xét tam giác EBD và tam giác CBI có:
góc EDB=góc CIB=90 độ
góc DEB=góc ICB(cùng chắn cung BD)
=>tam giác EBD đồng dạng tam giác CBI
=>góc DBE=góc ABC(2 góc tương ứng)
=>AC=DE
b.Áp dụng đ/lý Py-ta-go vào tam giác vuông AIC ta có:
IA2+IC2=AC2
Mà AC=DE=>AC2=DE2
Áp dụng đ/lý Py-ta-go vào tam giác vuông DIB ta có:
ID2+IB2=BD2
Áp dụng đ/lý Py-ta-go vào tam giác vuông EDB ta có:
ED2+BD2=EB2=(2R)2=4R2
Vậy IA2+IB2+IC2+ID2=4R2 D E A C I B
a) Xét đường tròn (O) có ˆAEBAEB^ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ˆAEB=900AEB^=900 hay AE⊥ABAE⊥AB mà CD⊥ABCD⊥AB nên AE//CDAE//CD suy ra cungAC=cungED⇒AC=EDcungAC=cungED⇒AC=ED b) IA2+IC2=AC2(Pytago)⇒IA2+IC2=
a) Xét (O) có : góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
⇒ góc BAE = 90 độ.
⇒ AE vuông góc với AB tại A
Mà CD vuông góc với AB tại I (GT)
⇒AE// CD ( định lí từ vuông góc đến song song)
- Xét (O) có 2 cung AC và ED chắn 2 dây AE//CD.
⇒ cung AC = cung ED
⇒ AC = ED ( theo định lí giữa cung và dây cung )
b) CM được góc BDE = 90 độ
⇒ ED^2 + DB^2 = BE^2
⇒ AC^2 + ( IB^2 + ID^2 ) = ( 2R )^2 . ( vì ED = AC, định lí Pytago cho△BID vuông tại I )
⇒( IA^2 + IC^2 ) + ( IB^2 + ID^2 ) = 4R^2. ( định lí Pytago cho△ AIC vuông tại I )
⇒ Đcpcm
a) ΔABE có BE là đường kính => ΔABE vuông tại A=>\(AE\perp AB\) có \(AB\perp CD\)=> AE//CD=>AC=DE (liên hệ giữa cung và dây)
b) Xét ΔEDB có góc EDB=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=> ΔEDB vuông tại D
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
ΔIAC có góc AIC=90 độ(\(CD\perp AB\))=>IA2+IC2=AC2 mà AC=DE=>IA2+IA2=DE2 (1)
ΔIBD có góc BID=90 độ (\(CD\perp AB\))=>IB2+ID2=BD2(2)
ΔEBD vuông tại D=>ED2+BD2=BE2 lại có BE=2R
Từ (1) và (2) suy ra:IA2+IB2+IC2+ID2=BE2=(2R)2=4R2
a) Xét (O) có : góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)
⇒ góc BAE = 90 độ.
⇒ AE vuông góc với AB tại A
Mà CD vuông góc với AB tại I (GT)
⇒AE// CD ( định lí từ vuông góc đến song song)
- Xét (O) có 2 cung AC và ED chắn 2 dây AE//CD.
⇒ cung AC = cung ED
⇒ AC = ED ( theo định lí giữa cung và dây cung )
b) CM được góc BDE = 90 độ
⇒ ED^2 + DB^2 = BE^2
⇒ AC^2 + ( IB^2 + ID^2 ) = ( 2R )^2 . ( vì ED = AC, định lí Pytago cho△BID vuông tại I )
⇒( IA^2 + IC^2 ) + ( IB^2 + ID^2 ) = 4R^2. ( định lí Pytago cho△ AIC vuông tại I )
⇒ Đcpcm
a) Ta có: ΔΔABE nội tiếp đường tròn (O), đường kính BE
=> Δ���ΔABE vuông tại A
=> ��⊥��AB⊥AE
mà ��⊥��AB⊥CD (GT)
=> AE // CD
Xét đường tròn (O) có: AE // CD (cmt)
=> cung AC = cung DE ( 2 cung nằm giữa 2 dây song song thì bằng nhau )
=> AC = DE ( liên hệ giữa cung và dây ) (đpcm)
b) Δ���ΔAIC có:
AIC = 90° ( do ��⊥��AB⊥CD )
=> IC2 + IA2 = AC2 ( Py-ta-go )
mà AC = DE ( câu a )
=> IC2 + IA2 = DE2 (1)
Δ���ΔBID có:
BID = 90° ( do ��⊥��AB⊥CD)
=> IB2 + ID2 = BD2 (2)
Ta có: Δ���ΔBDE nội tiếp đường tròn (O), đường kính BE
=> Δ���ΔBDE vuông tại D
=> BD2 + ED2 = BE2 ( Py-ta-go ) (3)
Từ (1),(2),(3) => IA2 + IB2 + IC2 + ID2 = BE2
=> IA2 + IB2 + IC2 + ID2= 4R2 ( do BE = 2R ) (đpcm)