C S N I M O K F A B D H

haizzz , vì mới lớp 8 nên mình chỉ làm được đến câu c, thôi , bạn thông cảm

a, Xét tam giác ABC vuông tại A và HA = HD

- Có \(\widehat{BAC}\)là góc nội tiếp đường tròn O chắn cung BC

- Mà BC là đường kính O

=> \(\widehat{BAC}=90^o\)

=> \(\Delta ABC\perp A\)

Xét \(\Delta OAD\)cân tại O ( Vì OA = OD do A , D cung thuộc O )

- Có AH là đường cao

=> OH là đường trung tuyến \(\Delta OAD\)

=> H là trug điểm AD

=> HA = HD

b, MN // SC , SC tiếp tuyến của (O)

Xét tam giác OSC có : M là trung điểm của OC

                                     N là trung điểm của OS

=> MN là đường TB của \(\Delta OSC\)

=> MN // SC

Mà \(MN\perp OC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow OC\perp SC\)tại S

- Xét đường tròn O có CO là bán kính ( vì \(C\in\left(O\right)\)

\(CO\perp SC\)tại C
=> SC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, BH .  HC = AF . AK

Xét \(\Delta ABC\perp A\)có :

AH là đường cao 

=> AH² = BH . HC

Xét đường tròn đường kính AH có F thuộc đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{AFH}=90^o\)

\(\Rightarrow HF\perp AK\)tại F

Xét tam giác AHK vuông tại H , ta có : 

HF là đường cao 

=> AH² = AF . AK

=> BH . HC = AF . AK ( = AH² )

GARENA FREE FIRE

ý a dễ

b/ Ta có IM=IN (đề bài) => OI vuông góc AN => ^AIO=90

Ta lại có ^ABO=^ACO=90 (AB,AC là tiếp tuyến)

=> B,I,C đều nhìn AO dưới 1 góc 90 độ => B,I,C cùng nằm trên 1 đường tròn đường kính AO => B,I,C,O cùng nằm trên 1 đường tròn

c/

Ta có AB=AC => số đo cung AB thuộc đường tròn đk AO = số đo cung AC thuộc đường tròn đk AO (1)

số đo ^AIB=1/2 số đo cung AB (góc nội tiếp) (2)

số đo ^AIC=1/2 sso đo cung AC (góc nội tiếp) (3)

Từ (1) (2) và (3) => ^AIB=^AIC => AI là phân giác của góc BIC

@Bakura : Câu a với b mình chứng minh được rồi bạn, mình cần câu c. Bạn biết làm câu c thì giúp mình với ạ, cảm ơn bạn.

A B C K M N H O

1) Dễ thấy ^CHN = ^CKN = 90⁰ => Bốn điêm C,H,K,N cùng thuộc đường tròn đường kính CN

Hay tứ giác CNKH nội tiếp đường tròn (CN) (đpcm).

2) Sđ(BC_nhỏ = 120⁰ => ^BOC = 120⁰ => ^BNC = 1/2.Sđ(BC_nhỏ = 1/2.^BOC = 60⁰

Vì tứ giác CNKH nội tiếp (cmt) nên ^KHC = 180⁰ - ^CNK = 180⁰ - ^BNC = 120⁰.

3) Hệ thức cần chứng minh tương đương với:

2KN.MN = AM² - AN² - MN² <=> 2KN.MN = MN.MB - MN² - AN² (Vì AM² = MN.MB)

<=> 2KN.MN = MN.BN - AN² <=> AN² = MN(BN - 2KN)

<=> AK² + KN² = MN(BK - KN) (ĐL Pytagoras) <=> AK² + KN.KM = MN.BK

<=> AM² - (MK² - KN.KM) = MN.BK (ĐL Pytagoras) <=> AM² - MK.MN = MN.BK

<=> AM² = MN(BK + MK) = MN.MB <=> AM² = AM² (Hệ thức lượng đường tròn) (Luôn đúng)

Do đó hệ thức ban đầu đúng. Vậy KN.MN = 1/2.(AM² - AN² - MN²) (đpcm).

a, Vì MA = MC ( tc tiếp tuyến ) 

OA = OC = R 

Vậy OM là đường trung trực AC hay MO vuông AC 

Ta có : ^ACB = 90⁰ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 

hay AC vuông BC 

lại có AC vuông MO ( cmt ) 

=> OM // BC ( tc vuông góc đến song song ) 

b, Vì MA là tiếp tuyến với A là tiếp điểm suy ra ^MAO = 90⁰

Áp dụng định lí Pytago tam giác MAO vuông tại A

\(MO=\sqrt{AM^2+AO^2}=\sqrt{64+36}=10\)cm 

Gọi MO giao AC = T 

Áp dụng hệ thức : \(AT.MO=AM.AO\Rightarrow AT=\frac{AM.AO}{MO}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}\)cm 

Vì MO là đường trung trực nên AT = TC 

=> AC = 2AT = 24/5 . 2 = 48/5 cm 

A B O C I P M K Q

a) Đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C nằm trên cung AB => ^ACB=90⁰ hay ^PCB=90⁰

Xét tứ giác BCPI: ^PCB=90⁰; ^PIB=90⁰ => Tứ giác BCPI nội tiếp đường tròn (Tâm là trung điểm BP)

b) Xét \(\Delta\)AMB: AC\(\perp\)BM; MI\(\perp\)AB; AC cắt MI tại P => P là trực tâm của \(\Delta\)AMB

Dễ thấy: BK\(\perp\)AM => B;P;K là 3 điểm thẳng hàng (đpcm).

 c) Nhận xét: Khi BC=R thì BC=OC=OB=OA => \(\Delta\)ABC là tam giác nửa đều có ^CBA=60⁰

=> ^ACO=30⁰. Do AQ là tiếp tuyến của (O) nên ^ACO+^QCA=90⁰ => ^QCA = 60⁰ (1)

Theo t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau => QA=QC (2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta\)AQC là tam giác đều => AQ=AC

Dễ có: AC=\(\sqrt{3}R\)=> AQ=\(\sqrt{3}R\)

Xét \(\Delta\)MIB: ^MBI=60⁰; ^MIB=90⁰ => \(\Delta\)MIB là tam giác nửa đều => BI= BM/2

Để ý thấy I là trung điểm OA => BI=3/2R => BM = 2.3/2R = 3R

Dựa vào ĐL Pytagore, ta tính được: \(MI^2=9R^2-\frac{9}{4}R^2=R^2.\left(\frac{36-9}{4}\right)=\frac{R^2.27}{4}\)

\(\Rightarrow MI=\frac{\sqrt{27}.R}{2}\)

\(\Rightarrow S_{QAIM}=\frac{\left(\sqrt{3}R+\frac{\sqrt{27}R}{2}\right).\frac{R}{2}}{2}=\frac{R.\left(\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right).\frac{R}{2}}{2}\)\(=\frac{R^2.\frac{5\sqrt{3}}{4}}{2}=\frac{5\sqrt{3}.R^2}{8}\)

Vậy \(S_{QAIM}=\frac{5\sqrt{3}.R^2}{8}\).

chung minh amci noi tiep

bạn tự vẽ hình nha
a)Xét tứ giác ABEF có
góc ABE=90 độ( góc nội tiếp chắn nửa dường tròn)
và góc AFE=90 độ (EF vuông góc AD tại F)
=> góc ABE + góc AFE =180 độ
=> tứ giác ABEF nội tiếp dường tròn đường kính AE
b)Ta có : góc CBD=góc CAD ( góc nội tiếp cùng chắn cung CD của (O))
và góc CAD =góc FBD (góc nội tiếp chắn cung EF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF)
=>góc CBD=góc FBD (=góc CAD)
=>BD là tia phân giác của góc CBF
c)Xét tứ giác CEFD có:
góc DCA=90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
và góc EFD=90 độ (EF vuông góc AD tại F)
=> góc DCA+góc EFD=180 độ
=> tứ giác CEFD nội tiếp dường tròn đường kính ED)
Ta có tam giác ABE vuông tại B có dường trung tuyến BM (M là trung diểm của AE)
=>BM=1/2. AE= AM=ME =>tam giác ABM cân tại M => góc ABM= góc BAM

mà góc ABM +góc MBF+góc FBE=90 độ
và góc FBE=góc CAD (cmt)
=>góc MBF+ góc CAD+ góc BAM =90 độ
mà góc ADB+ góc CAD+góc BAM =90 độ(góc BAD=góc BAM+goc1CAD)
=>góc MBF=góc ADB
mà góc ADB = góc FCM ( góc nội tiếp cùng chắn cung EF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD)
=>góc MBF= góc FCM (=góc ADB)
=>tứ giác BMFC nội tiếp đường tròn

#B

a) Ta có: ^ABD = 90^o ( góc nội tiếp chắn cung AD ( nửa đường tròn ) )

và ^AFE = 90^o ( EF vuông AD)

=> ^ABD + ^AFE = 180^o

=> ABEF nội tiếp 

Chứng minh tương tự với DCEF

b) ABCD nội tiếp => ^ACB = ^ADB ( cùng chắn cung AB ) 

DCEF nội tiếp => ^ECF = ^EDF ( cùng chắn cung EF )  => ^ACF = ^ADB 

=> ^ACB = ^ACF 

=> CA là phân giác ^BCF