Cho đường tròn (O), đường kính BC và A là điểm bất kì thuộc đường tròn ( A khác B và C ). Từ A kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của các đường thẳng AB và AC.

a/ Chứng minh rằng:              *)  AM.AB = AN.AC

                                            *) \(\Delta AMN\) đồng dạng với \(\Delta ACB\)

b/ Tiếp tuyến với đường tròn tại A cắt các tia HM, HN theo thứ tự tại P và Q. Tứ giác BCQP là hình gì? Hãy chứng minh.

c/ Xác định vị trí của điểm A trên đường tròn để diện tích tứ giác BCQP lớn nhất.

Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc đường tròn. H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ đường tròn (I) có đường kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với MN.
b) Vẽ đường kính AOK của đường tròn (O). Gọi E là trung điểm của HK. Chứng minh rằng E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.
c) Cho BC cố định. Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất.

Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O,R), đường kính AB sao cho cung AC lớn hơn cung BC ( C khác B ). Đường thẳng vuông góc với đường kính AB tại O cắt dây AC tại D

a) Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp

b) Chứng minh AD.AC=AO.AB

c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng đi qua D và song song với AB tại điểm E. Tứ giác OEDA là hình gì?

d) Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Hãy tìm vị trí điểm C để HD\(\perp\)AC

Cho đường tròn (O) , bán kính R, A là một điểm cố định trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), lấy điểm M tùy ý , từ M kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) , B là tiếp điểm. I là trung điểm MA, BI cắt đường tròn (O) tại K . MK cắt (O) tại C.

a)Chứng minh \(\Delta\)MIK đồng dạng \(\Delta\)BIM

b) Chứng minh BC vuông góc AO

c) Xác định vị trí của M trên Ax để tứ giác AMBC là hình bình hành

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB < AC$), dựng $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $M$, $N$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm $H$ trên $AB$ và $AC$. Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $D$. Trên nửa mặt phẳng bờ $CD$ chứa điểm $A$ vẽ nửa đường tròn đường kính $CD$. Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $CD$ cắt nửa đường tròn trên tại điểm $E$.

a) Chứng minh tứ giác $AMHN$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\widehat{EBM}=\widehat{DNH}\).

c) Chứng minh $DM.DN = DB.DC$.

Cho đường tròn ( O ; R ), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD, đường thẳng vuông góc với BD tại O cắt đường thẳng DC tại E.

a. Chứng minh : OA vuông góc với BC và DC // OA

b. Chứng minh : Tứ giác AEDO là hình bình hành.

c. Đường thẳng BC cắt OA và OE lần lượt tại I và K. Chứng minh : \(IK.IC+OI.IA=R^2\)

Cho ( O;R ) có dây BC cố định , gọi d là đường thằng qua O và vuông góc với BC ; tiếp tuyến B tại ( O ) cắt đường thẳng d tại A . Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC ; từ M kẻ MD , ME , MF theo thứ tự vuông góc với AB , BC , CA tại D , E , F

a . Chứng minh AC là tiếp tuyến ( O;R ) và MDBE , MECF là các tứ giác nội tiếp

b . Cho BC = R\(\sqrt{3}\). Tính diện tích hình viên phân tạo thành bởi cung nhỏ BC và dây BC

c . Chứng minh ME² = MD.MF

d . Gọi P là giao điểm của MB và DE , Q là giao điểm của MC và EF . Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác MFQ tại điểm thứ hai là N . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trung điểm BC

cho nữa đường tròn (O ; R), đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nữa đường tròn này. Gọ E là điểm di động trên cung AB (E không trùng với A và B). Tiếp tuyến tại E của nữa đường tròn cắt Ax và By lần lượt tại C và D. Tia AE cắt By tại N; tia BE cắt Ax tại M.

a) Chứng minh rằng \(^{OE^2}\)= CE.ED

b) Chứng minh rằng \(\Delta ABM\approx\Delta BAN\)và tích AM.BN không thay đổi.

c) Gọi K là giao điểm của AD và BC. Tia EK cắt AB tại H

Chứng minh EH//AC và K là trung điểm của EH

d) Hãy xác định vị trí của điểm E trên cung AB để tổng diện tích tam giác ACE và BDE đạt giá trị nhỏ nhất