a) Tam giác BEH có OB=OH=OB ( bán kinh đường tròn tâm O )

=> OE=1/2BH

=> Tam giác BEH vuông tại E ( tam giác có trung tuyến thuộc cạnh huyền = 1 nửa cạnh huyền thì tam giác đó vuông )

=> góc BEH =90 độ 

=> góc AEH = 90 độ             

Tương tự Tam giác HFC 

góc HFC =90 độ => góc HFA =90 độ          

Tứ giác AEHF có góc BAC = 90 độ, góc AEH= 90 độ, góc HFA =90 độ 

nên tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b) Chứng mình tiếp tuyến là chứng minh đường đó vuông góc với bán kinh tại tiếp điểm

nên chứng minh EF tiếp tuyến chung của đường tròn tâm O và O'' gọi giao điểm EF và AH là I 

tức là chứng minh EF vuông góc với EO và EF vuông góc với FO''

Ta có tam giác EOH cân tại O ( OE=OH ) => góc OEH = góc OHE

Tam giác EIH cân tại I ( AEUF hình chữ nhật nên 2 đường chéo = nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => EI=IH )

=> góc IEH = góc IHE 

Mặt khác góc OHE + góc IHE =90 độ

nên góc OEH + góc IEH =90 độ

hey góc OEF =90 độ hay EF vuông góc với EO => EF tiếp tuyến đường tròn tâm O        (1)

Tương tự góc IFH+ góc HFO''=90 độ

=> góc IFO'' =90 độ hay EF vuông góc với FO'' => EF tiếp tuyến đường tròn tâm O''       (2)

Từ (1) và (2) ta có EF là tiếp tuyến chung của đường tròn tâm O và O''  

A B C O H D E F P Q M N

a) Dễ có tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (BC). Suy ra ^BPQ = ^AFE = ^ECB = ^BCQ

Vậy tứ giác BPCQ nội tiếp (Quỹ tích cung chứa góc) (đpcm).

b) Có ^BPQ = ^BCQ = ^BFD (cmt) hay ^DPF = ^DFP. Vậy \(\Delta\)DPF cân tại D (đpcm).

c) Dễ thấy NE là tiếp tuyến của (AEF), suy ra ^NEF = ^EAF = ^BDF = 180⁰ - ^FDN

Suy ra tứ giác DFEN nội tiếp. Khi đó \(\Delta\)MFD ~ \(\Delta\)MNE (g.g). Vậy MF.ME = MD.MN (đpcm).

d) Ta thấy ^FDB = ^EDC (=^BAC); ^DNE = ^DFM (Vì tứ giác DFEN nội tiếp)

Do đó \(\Delta\)DEN ~ \(\Delta\)DMF (g.g). Từ đây DN.DM = DE.DF (1)

Từ câu b, ta có \(\Delta\)DPF cân tại D (DF = DP). Tương tự DE= DQ (2)

Từ (1) và (2) suy ra DN.DM = DP.DQ dẫn đến \(\Delta\)DPM ~ \(\Delta\)DNQ (c.g.c)

Suy ra 4 điểm M,P,Q,N cùng thuộc một đường tròn hay (MPQ) đi qua N cố định (đpcm).

Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông ta có :

\(AH=\sqrt{\dfrac{AB^2AC^2}{AB^2+AC^2}}\)

\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{\dfrac{3^2.4^2}{3^2+4^2}}=\dfrac{12}{5}\)

Mà :

\(AB.AC=AH.BC\)

\(\Leftrightarrow3.4=\dfrac{12}{5}.BC\) \(\)

\(\Rightarrow BC=5cm\)

Tiếp theo :

\(AC^2=HC.BC\)

\(\Leftrightarrow HC=AC^2:BC\)

\(\Leftrightarrow HC=9:5=\dfrac{9}{5}cm\)

Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}AH=\dfrac{12}{5}cm\\BC=5cm\\HC=\dfrac{9}{5}cm\end{matrix}\right.\)

Xét tứ giác AEHF có góc AEH=góc AFH=góc FAE=90 độ

nên AEHF là hình chữ nhật

=>AH cắt EF tại trung điểm của mỗi đường và AH=EF

=>OE=OF=AH/2

\(HB\cdot HC=AH^2\)

\(4\cdot OE\cdot OF=AH\cdot FE=AH^2\)

Do đó: \(HB\cdot HC=4\cdot OE\cdot OF\)